Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para e depois aplicar a transformada inversa para encontrar .
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. A transformada de é , a de é e a de é simplesmente . Substituindo os valores das condições iniciais:
Simplificando isso, temos:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos com :
Para resolver para , dividimos ambos os lados por :
Passo 4
Para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos completar o quadrado no denominador:
Assim, a expressão para fica:
Passo 5
Agora, reconhecemos essa forma como a transformada de Laplace da função , onde e . A transformada de é: