Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para e depois aplicar a transformada inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. A transformada de é , a de é e a de é simplesmente . Substituindo os valores das condições iniciais:
Simplificando isso, temos:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos com :
Para resolver para , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos completar o quadrado no denominador:
Assim, a expressão para fica:

Passo 5

Agora, reconhecemos essa forma como a transformada de Laplace da função , onde e . A transformada de é:
Comparando com o nosso , temos que:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Calcule: