(1,0 ponto) Resolva a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, usamos a equação característica, que é
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes complexas:
Com raízes complexas, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio
, assumimos que a solução particular também seja um polinômio de grau 3:
Calculamos as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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