(1,0 ponto) Resolva a equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, usamos a equação característica, que é
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes complexas:
Com raízes complexas, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio , assumimos que a solução particular também seja um polinômio de grau 3:
Calculamos as derivadas:
Substituindo , e na equação diferencial:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de :
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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