calcule as transformadas de Laplace.

Passo 1

Neste exercício, nosso objetivo é calcular a transformada de Laplace da função . Isso faz parte do estudo das transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da transformada de Laplace para funções da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para . A fórmula é:
Aqui, é o coeficiente do no expoente da função exponencial, e é o coeficiente do dentro do cosseno.

Passo 3

Agora, identificamos os valores de e na nossa função . Temos:

Passo 4

Substituímos os valores de e na fórmula da transformada de Laplace:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Um projeto de controle de inundação está sendo cogitado para uma região submetida a esse problema. Existem dois locais para construção de barragens e formação de reservatório de laminação de cheias. É possível construir-se apenas uma das barragens, no local A ou no local B. Uma pequena hidroelétrica poderá ser adicionada ao projeto do local A para sua viabilização econômica.
Além dessas obras acha-se em consideração uma série de outras melhorias para atenuação do problema de inundações. Elas são o revestimento do canal fluvial, dragagem e retificação. Como conseqüência podem ser identificadas sete alternativas distintas formadas pela composição dessas obras. Para cada alternativa foi realizada uma estimativa de custos de investimento e de custos anuais esperados dos danos de inundação. Elas são apresentadas a seguir:
Alternativa Custo inicial de <br> Investimento (U.M.) Custo anual de operação <br> e manutenção (U.M.)
Barragem - A 5.000 60
Barragem - B 6.000 50
Hidroelétrica 1.000 25
Melhorias no canal fluvial 800 70
Alternativa Custos anuais esperados <br> de inundaço (U.M.)
:— :—:
Barragem A 110
Barragem A + Hidroelétrica 130
Barragem A + Melhoria de canal 40
Barragem A + Hidroelétrica + Melhoria de canal 60
Barragem B 180
Barragem B + Melhoria de canal 90
Apenas Melhoria de canal 330
Situação sem qualquer projeto 680
Para se construir e operar uma termoelétrica que produza energia equivalente à produção da hidroelétrica estima-se um custo anual adicional equivalente de 70 U.M.
A vida econômica e o valor residual de cada projeto acima é:
Projeto Vida Econômica (anos) Valor Residual (U.M.)
Barragens 100 500
Melhorias no canal 20 200
Hidroelétrica 50 50
Realizar a análise econômica das alternativas apresentadas e selecionar uma delas. A taxa mínima de atratividade a ser utilizada deverá ser de ao ano.
Uma indústria deverá se estabelecer às margens de um curso de água em determinado município. O custo de investimento é estimado em . A atividade produtora acarretará uma receita líquida
à indústria estimada em . O desenvolvimento que a instalação da indústria acarretará ao município é avaliado, em termos de aumento da produção de bens e serviços, em . Outros municípios próximos, situados no mesmo estado, também terão como consequência aumentos de produção, avaliados em . Um analista econômico observa porém que existirão transferências de atividade econômica que se desenvolveria em outros estados na ausência do projeto, na ordem de , que serão a causa de parte dos aumentos de produção no município considerado e em seus vizinhos. O curso de água receberá um efluente da indústria que acarretará deterioração das condições de qualidade da água em município vizinho. Esses prejuízos ambientais são avaliados economicamente como sendo da ordem de . Verificar o mérito econômico do projeto sob cada um dos pontos de vista: a) da indústria; b) do município; c) do estado; d) do país.
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que: