usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando a definição de Transformada de Laplace, que a transformada de é para . Para isso, vamos precisar conhecer a definição básica da Transformada de Laplace e aplicar essa definição à função constante .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Isso significa que para encontrar a transformada de Laplace de uma função , a gente integra multiplicada por de a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos integrar em relação a . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da integral definida de a :
Simplificando:

Resposta

Portanto, usando a definição de Transformada de Laplace, mostramos que para .

Exercícios relacionados

calcule as transformadas de Laplace.
Um projeto de controle de inundação está sendo cogitado para uma região submetida a esse problema. Existem dois locais para construção de barragens e formação de reservatório de laminação de cheias. É possível construir-se apenas uma das barragens, no local A ou no local B. Uma pequena hidroelétrica poderá ser adicionada ao projeto do local A para sua viabilização econômica.
Além dessas obras acha-se em consideração uma série de outras melhorias para atenuação do problema de inundações. Elas são o revestimento do canal fluvial, dragagem e retificação. Como conseqüência podem ser identificadas sete alternativas distintas formadas pela composição dessas obras. Para cada alternativa foi realizada uma estimativa de custos de investimento e de custos anuais esperados dos danos de inundação. Elas são apresentadas a seguir:
Alternativa Custo inicial de <br> Investimento (U.M.) Custo anual de operação <br> e manutenção (U.M.)
Barragem - A 5.000 60
Barragem - B 6.000 50
Hidroelétrica 1.000 25
Melhorias no canal fluvial 800 70
Alternativa Custos anuais esperados <br> de inundaço (U.M.)
:— :—:
Barragem A 110
Barragem A + Hidroelétrica 130
Barragem A + Melhoria de canal 40
Barragem A + Hidroelétrica + Melhoria de canal 60
Barragem B 180
Barragem B + Melhoria de canal 90
Apenas Melhoria de canal 330
Situação sem qualquer projeto 680
Para se construir e operar uma termoelétrica que produza energia equivalente à produção da hidroelétrica estima-se um custo anual adicional equivalente de 70 U.M.
A vida econômica e o valor residual de cada projeto acima é:
Projeto Vida Econômica (anos) Valor Residual (U.M.)
Barragens 100 500
Melhorias no canal 20 200
Hidroelétrica 50 50
Realizar a análise econômica das alternativas apresentadas e selecionar uma delas. A taxa mínima de atratividade a ser utilizada deverá ser de ao ano.
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que: