usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando a definição de Transformada de Laplace, que a transformada de
é
para
. Para isso, vamos precisar conhecer a definição básica da Transformada de Laplace e aplicar essa definição à função constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Isso significa que para encontrar a transformada de Laplace de uma função
, a gente integra
multiplicada por
de
a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos integrar
em relação a
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da integral definida de
a
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, usando a definição de Transformada de Laplace, mostramos que
para
.
Exercícios relacionados
calcule as transformadas de Laplace.
Um projeto de controle de inundação está sendo cogitado para uma região submetida a esse problema. Existem dois locais para construção de barragens e formação de reservatório de laminação de cheias. É possível construir-se apenas uma das barragens, no local A ou no local B. Uma pequena hidroelétrica poderá ser adicionada ao projeto do local A para sua viabilização econômica.
Além dessas obras acha-se em consideração uma série de outras melhorias para atenuação do problema de inundações. Elas são o revestimento do canal fluvial, dragagem e retificação. Como conseqüência podem ser identificadas sete alternativas distintas formadas pela composição dessas obras. Para cada alternativa foi realizada uma estimativa de custos de investimento e de custos anuais esperados dos danos de inundação. Elas são apresentadas a seguir:
Além dessas obras acha-se em consideração uma série de outras melhorias para atenuação do problema de inundações. Elas são o revestimento do canal fluvial, dragagem e retificação. Como conseqüência podem ser identificadas sete alternativas distintas formadas pela composição dessas obras. Para cada alternativa foi realizada uma estimativa de custos de investimento e de custos anuais esperados dos danos de inundação. Elas são apresentadas a seguir:
Alternativa | Custo inicial de <br> Investimento (U.M.) | Custo anual de operação <br> e manutenção (U.M.) |
---|---|---|
Barragem - A | 5.000 | 60 |
Barragem - B | 6.000 | 50 |
Hidroelétrica | 1.000 | 25 |
Melhorias no canal fluvial | 800 | 70 |
Alternativa | Custos anuais esperados <br> de inundaço (U.M.) | |
:— | :—: | |
Barragem A | 110 | |
Barragem A + Hidroelétrica | 130 | |
Barragem A + Melhoria de canal | 40 | |
Barragem A + Hidroelétrica + Melhoria de canal | 60 | |
Barragem B | 180 | |
Barragem B + Melhoria de canal | 90 | |
Apenas Melhoria de canal | 330 | |
Situação sem qualquer projeto | 680 |
Para se construir e operar uma termoelétrica que produza energia equivalente à produção da hidroelétrica estima-se um custo anual adicional equivalente de 70 U.M.
A vida econômica e o valor residual de cada projeto acima é:
A vida econômica e o valor residual de cada projeto acima é:
Projeto | Vida Econômica (anos) | Valor Residual (U.M.) |
---|---|---|
Barragens | 100 | 500 |
Melhorias no canal | 20 | 200 |
Hidroelétrica | 50 | 50 |
Realizar a análise econômica das alternativas apresentadas e selecionar uma delas. A taxa mínima de atratividade a ser utilizada deverá ser de
ao ano.
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que: