usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve a Transformada de Laplace, uma ferramenta matemática muito útil na engenharia e nas ciências para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. O objetivo aqui é mostrar que a transformada de uma função cosseno, especificamente , resulta em quando aplicamos a definição da Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e como aplicá-la a funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. Para uma função , onde , a Transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, a função é . Portanto, substituindo na definição, temos:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar , podemos usar uma fórmula de integração padrão para funções exponenciais multiplicadas por cossenos:
No nosso caso, e . Aplicando a fórmula:
Agora, avaliamos os limites de integração. Quando tende ao infinito, tende a zero (já que ), e os termos que envolvem e permanecem limitados. Portanto, a parte no infinito será zero. No limite inferior, quando :
Subtraindo os limites, obtemos:

Resposta

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calcule as transformadas de Laplace.
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