usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve a Transformada de Laplace, uma ferramenta matemática muito útil na engenharia e nas ciências para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. O objetivo aqui é mostrar que a transformada de uma função cosseno, especificamente
, resulta em
quando aplicamos a definição da Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e como aplicá-la a funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. Para uma função
, onde
, a Transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, a função
é
. Portanto, substituindo na definição, temos:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar
, podemos usar uma fórmula de integração padrão para funções exponenciais multiplicadas por cossenos:
No nosso caso,
e
. Aplicando a fórmula:
Agora, avaliamos os limites de integração. Quando
tende ao infinito,
tende a zero (já que
), e os termos que envolvem
e
permanecem limitados. Portanto, a parte no infinito será zero. No limite inferior, quando
:
Subtraindo os limites, obtemos:
Resposta
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calcule as transformadas de Laplace.
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