usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace! A tarefa aqui é usar a definição da Transformada de Laplace para mostrar que a transformada da função hiperbólica seno, , é igual a quando . Para isso, vamos precisar usar a definição básica da Transformada de Laplace e algumas propriedades de funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é definida por:
Essa definição nos ajuda a converter uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Então, temos:

Passo 4

Sabemos que a função hiperbólica seno pode ser expressa em termos de exponenciais:
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral separadamente para cada termo:
As integrais são do tipo , que convergem quando . No nosso caso, para que as integrais existam, precisamos que .
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace de é:

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calcule as transformadas de Laplace.