usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace! A tarefa aqui é usar a definição da Transformada de Laplace para mostrar que a transformada da função hiperbólica seno,
, é igual a
quando
. Para isso, vamos precisar usar a definição básica da Transformada de Laplace e algumas propriedades de funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Essa definição nos ajuda a converter uma função do domínio do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função
. Então, temos:
Passo 4
Sabemos que a função hiperbólica seno pode ser expressa em termos de exponenciais:
Substituindo isso na integral, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral separadamente para cada termo:
As integrais são do tipo
, que convergem quando
. No nosso caso, para que as integrais existam, precisamos que
.
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
calcule as transformadas de Laplace.