Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular . Aqui estamos trabalhando com produtos vetoriais, um conceito da Geometria Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular produtos vetoriais de vetores cruzados.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os vetores intermediários para simplificar a expressão. Vamos chamar:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da propriedade do produto vetorial duplo, que diz que para quaisquer vetores e :
Entretanto, note que , e o produto escalar de um vetor com seu cruzado é zero:
Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Este é o produto misto de três vetores, que pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado por , e . É também conhecido como produto escalar triplo:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

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Determine o ponto de interseção da reta com o plano ;
Calcule e .
Verifique que .
Escreva uma equação do plano paralelo ao plano e que contém o ponto .