Calcule (u times v) times(u times w).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular . Aqui estamos trabalhando com produtos vetoriais, um conceito da Geometria Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular produtos vetoriais de vetores cruzados.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os vetores intermediários para simplificar a expressão. Vamos chamar:
A = u times v e B = u times w
Então, a expressão original fica:
A times B

Passo 3

Agora, vamos lembrar da propriedade do produto vetorial duplo, que diz que para quaisquer vetores A times B = (A cdot w)u - (A cdot u)w e A cdot u = (u times v) cdot u = 0 :
A times B = (A cdot w)u
Entretanto, note que , e o produto escalar de um vetor com seu cruzado é zero:
Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular A cdot w = (u times v) cdot w :
u cdot (v times w)
Este é o produto misto de três vetores, que pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado por , e . É também conhecido como produto escalar triplo:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de A times B = (u cdot (v times w)) u :

Resposta

(u times v) times (u times w) = (u cdot (v times w)), u

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