Calcule , sabendo que o ângulo entre e é 30, é ortogonal a e , e tem o mesmo sentido do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto misto sabendo algumas informações sobre os vetores , e . Aqui, estamos lidando com álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto misto e as propriedades dos vetores envolvidos, como magnitudes e ângulos entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto . Ele é definido como , ou seja, o produto escalar de com o produto vetorial de e . Esse valor também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 3
Sabemos que é ortogonal a e . Isso significa que é paralelo ao produto vetorial . Além disso, a magnitude de é 4 e tem o mesmo sentido que . Portanto, podemos escrever .
Passo 4
Vamos calcular a magnitude de . A fórmula é:
Onde é o ângulo entre e . Sabemos que , e . Então:
Passo 5
Como está na mesma direção que e , podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto misto:
Usando a propriedade do produto misto e sabendo que simplifica para , o cálculo se reduz a:
No entanto, percebi que houve um erro na simplificação. Vamos refazer essa parte.