Calcule (u, v, w), sabendo que o ângulo entre u e v é 30, w é ortogonal a u e v, |u|=1,|v|=1,|w|=4 e w tem o mesmo sentido do vetor u times v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto misto sabendo algumas informações sobre os vetores , e . Aqui, estamos lidando com álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto misto e as propriedades dos vetores envolvidos, como magnitudes e ângulos entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto . Ele é definido como , ou seja, o produto escalar de com o produto vetorial de e . Esse valor também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Sabemos que é ortogonal a e . Isso significa que é paralelo ao produto vetorial . Além disso, a magnitude de é 4 e tem o mesmo sentido que . Portanto, podemos escrever .

Passo 4

Vamos calcular a magnitude de |u times v| = |u||v|sin(theta) . A fórmula é:
|u times v| = 1 times 1 times sin(30^circ) = 0,5
Onde é o ângulo entre e . Sabemos que , e . Então:

Passo 5

Como w = 4 u times v0,5 = 8 (u times v) está na mesma direção que e , podemos escrever:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto misto:
u cdot (v times w) = u cdot (v times (8 u times v))
Usando a propriedade do produto misto e sabendo que u cdot (v times w) = 8 u cdot (v times (u times v)) = 8 times 0 = 0 simplifica para , o cálculo se reduz a:
No entanto, percebi que houve um erro na simplificação. Vamos refazer essa parte.

Passo 7

Na verdade, como v times w = v times (8 u times v) = 8 (v times (u times v)) é paralelo a v times (u times v) = (v cdot v)u - (v cdot u)v = (1)(u) - (cos 30^circ)(v) , podemos escrever:
v times w = 8 (u - cos 30^circ v)
Usando a identidade vetorial:
u cdot (v times w) = 8 (u cdot u - cos 30^circ u cdot v) = 8 (1 - cos 30^circ times cos 30^circ)
Portanto:
u cdot (v times w) = 8 (1 - (raiz32)^2) = 8 (1 - 34) = 8 times 14 = 2
Agora, calculando o produto escalar com :
Sabendo que :

Resposta

O valor do produto misto é 2.

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