Calcule
, sabendo que o ângulo entre
e
é 30,
é ortogonal a
e
,
e
tem o mesmo sentido do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto misto
sabendo algumas informações sobre os vetores
,
e
. Aqui, estamos lidando com álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto misto e as propriedades dos vetores envolvidos, como magnitudes e ângulos entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto
. Ele é definido como
, ou seja, o produto escalar de
com o produto vetorial de
e
. Esse valor também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 3
Sabemos que
é ortogonal a
e
. Isso significa que
é paralelo ao produto vetorial
. Além disso, a magnitude de
é 4 e tem o mesmo sentido que
. Portanto, podemos escrever
.
Passo 4
Vamos calcular a magnitude de
. A fórmula é:
Onde
é o ângulo entre
e
. Sabemos que
,
e
. Então:
Passo 5
Como
está na mesma direção que
e
, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto misto:
Usando a propriedade do produto misto e sabendo que
simplifica para
, o cálculo se reduz a:
No entanto, percebi que houve um erro na simplificação. Vamos refazer essa parte.
Passo 7
Na verdade, como
é paralelo a
, podemos escrever:
Usando a identidade vetorial:
Portanto:
Agora, calculando o produto escalar com
:
Sabendo que
:
Resposta
O valor do produto misto
é 2.