Calcule , sabendo que o ângulo entre e é 30, é ortogonal a e , e tem o mesmo sentido do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto misto sabendo algumas informações sobre os vetores , e . Aqui, estamos lidando com álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto misto e as propriedades dos vetores envolvidos, como magnitudes e ângulos entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto . Ele é definido como , ou seja, o produto escalar de com o produto vetorial de e . Esse valor também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Sabemos que é ortogonal a e . Isso significa que é paralelo ao produto vetorial . Além disso, a magnitude de é 4 e tem o mesmo sentido que . Portanto, podemos escrever .

Passo 4

Vamos calcular a magnitude de . A fórmula é:
Onde é o ângulo entre e . Sabemos que , e . Então:

Passo 5

Como está na mesma direção que e , podemos escrever:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto misto:
Usando a propriedade do produto misto e sabendo que simplifica para , o cálculo se reduz a:
No entanto, percebi que houve um erro na simplificação. Vamos refazer essa parte.

Passo 7

Na verdade, como é paralelo a , podemos escrever:
Usando a identidade vetorial:
Portanto:
Agora, calculando o produto escalar com :
Sabendo que :

Resposta

O valor do produto misto é 2.

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Determine o valor k para que os vetores e sejam paralelos.
Encontre todos os valores de para os quais .
Seja a matriz quadrada de ordem 3 em que as entradas so dadas por . Calcule .
Dados os vetores e , determine em função de e as componentes dos vetores:
b)