Calcule [u, v, w] sabendo que |u|=1,|v|=2,|w|=3, e que (u, v, w) é uma base negativa, sendo u, v, w dois a dois ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede! Temos três vetores , e que formam uma base negativa e são dois a dois ortogonais. As normas desses vetores são , e . Precisamos calcular o produto misto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como produto escalar, ortogonalidade e orientação de bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores são ortogonais dois a dois. Isso quer dizer que o produto escalar entre qualquer par de vetores é zero:
u cdot v = 0, u cdot w = 0, v cdot w = 0
Isso simplifica bastante nossos cálculos, pois indica que os vetores são perpendiculares entre si.

Passo 3

O produto misto [u, v, w] = |u| cdot |v| cdot |w| cdot sin(90^circ) = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 1 = 6 representa o volume orientado do paralelepípedo formado pelos três vetores. Quando os vetores são ortogonais, o produto misto é igual ao produto das normas dos vetores vezes o seno do ângulo entre eles. Como são ortogonais, o seno do ângulo de 90° é 1. Então:

Passo 4

No entanto, a questão menciona que a base é negativa. Isso significa que a orientação dos vetores é tal que o produto misto será negativo. Portanto, precisamos considerar o sinal negativo no resultado final.

Passo 5

Assim, levando em conta a orientação negativa da base, o valor do produto misto será:
[u, v, w] = -6

Resposta

O produto misto .

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