Calcule sabendo que , e que é uma base negativa, sendo dois a dois ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede! Temos três vetores , e que formam uma base negativa e são dois a dois ortogonais. As normas desses vetores são , e . Precisamos calcular o produto misto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como produto escalar, ortogonalidade e orientação de bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores são ortogonais dois a dois. Isso quer dizer que o produto escalar entre qualquer par de vetores é zero:
Isso simplifica bastante nossos cálculos, pois indica que os vetores são perpendiculares entre si.

Passo 3

O produto misto representa o volume orientado do paralelepípedo formado pelos três vetores. Quando os vetores são ortogonais, o produto misto é igual ao produto das normas dos vetores vezes o seno do ângulo entre eles. Como são ortogonais, o seno do ângulo de 90° é 1. Então:

Passo 4

No entanto, a questão menciona que a base é negativa. Isso significa que a orientação dos vetores é tal que o produto misto será negativo. Portanto, precisamos considerar o sinal negativo no resultado final.

Passo 5

Assim, levando em conta a orientação negativa da base, o valor do produto misto será:

Resposta

O produto misto .

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