Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica de álgebra linear para encontrar soluções de sistemas lineares. O que vamos precisar aqui é transformar o sistema em uma matriz escalonada, ou seja, organizar os números de forma que seja mais fácil encontrar os valores de , e . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor os números que vamos trabalhar:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal há apenas zeros. Para isso, vamos começar eliminando o das segunda e terceira equações.
Primeiro, dividimos a primeira linha por 3 para facilitar:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da segunda e terceira linhas. Para a segunda linha, subtraímos 2 vezes a primeira linha dela:
  • Nova segunda linha =
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Para eliminar o da terceira linha, vamos somar a primeira linha à terceira:
  • Nova terceira linha =
Calculando:
A matriz agora fica:

Passo 6

Vamos simplificar a segunda e terceira linhas para facilitar. Primeiro, dividimos a segunda linha por -9:
Agora, eliminamos o da terceira linha subtraindo 18 vezes a segunda linha da terceira:
  • Nova terceira linha =
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 7

Agora, temos uma matriz escalonada que nos permite encontrar as soluções. A terceira linha nos mostra que , o que significa que há infinitas soluções. Vamos expressar como um parâmetro livre, digamos .
Então, da segunda linha:
E da primeira linha:
Substituindo :

Resposta

As soluções do sistema são:
onde é um número real qualquer.

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