Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
3 x1+6 x2-6 x3 & =9 2 x1-5 x2+4 x3 & =6 -x1+16 x2-14 x3 & =-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica de álgebra linear para encontrar soluções de sistemas lineares. O que vamos precisar aqui é transformar o sistema em uma matriz escalonada, ou seja, organizar os números de forma que seja mais fácil encontrar os valores de , e . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor os números que vamos trabalhar:
3 & 6 & -6 & | & 9 2 & -5 & 4 & | & 6 -1 & 16 & -14 & | & -3

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal há apenas zeros. Para isso, vamos começar eliminando o 1 & 2 & -2 & | & 3 2 & -5 & 4 & | & 6 -1 & 16 & -14 & | & -3 das segunda e terceira equações.
Primeiro, dividimos a primeira linha por 3 para facilitar:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 & 2 & -2 & | & 3 0 & -9 & 8 & | & 0 -1 & 16 & -14 & | & -3 da segunda e terceira linhas. Para a segunda linha, subtraímos 2 vezes a primeira linha dela:
  • Nova segunda linha =
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Para eliminar o 1 & 2 & -2 & | & 3 0 & -9 & 8 & | & 0 0 & 18 & -16 & | & 0 da terceira linha, vamos somar a primeira linha à terceira:
  • Nova terceira linha =
Calculando:
A matriz agora fica:

Passo 6

Vamos simplificar a segunda e terceira linhas para facilitar. Primeiro, dividimos a segunda linha por -9:
1 & 2 & -2 & | & 3 0 & 1 & -89 & | & 0 0 & 18 & -16 & | & 0
Agora, eliminamos o 1 & 2 & -2 & | & 3 0 & 1 & -89 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 da terceira linha subtraindo 18 vezes a segunda linha da terceira:
  • Nova terceira linha =
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 7

Agora, temos uma matriz escalonada que nos permite encontrar as soluções. A terceira linha nos mostra que x2 - 89x3 = 0 implies x2 = 89t , o que significa que há infinitas soluções. Vamos expressar x1 + 2x2 - 2x3 = 3 implies x1 = 3 - 2x2 + 2x3 como um parâmetro livre, digamos x1 = 3 - 2(89t) + 2t = 3 - 169t + 2t = 3 + (2 - 169)t = 3 + 29t .
Então, da segunda linha:
E da primeira linha:
Substituindo :

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 3 + 29t, x2 = 89t, x3 = t
onde é um número real qualquer.

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