Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
x1-2 x2+3 x3 & =11 4 x1+x2-x3 & =4 2 x1-x2+3 x3 & =10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou é sobre resolver um sistema de equações usando o método de Gauss, que envolve transformar as equações em uma matriz e fazer umas manobras para deixar tudo mais simples e resolver. A gente vai precisar entender como manipular as linhas da matriz para chegar numa forma escalonada, onde é fácil encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações como uma matriz aumentada. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os resultados juntos. Nosso sistema é:
x1 - 2x2 + 3x3 &= 11 4x1 + x2 - x3 &= 4 2x1 - x2 + 3x3 &= 10
Então, a matriz aumentada fica assim:
1 & -2 & 3 & | & 11 4 & 1 & -1 & | & 4 2 & -1 & 3 & | & 10

Passo 3

Agora, nosso objetivo é deixar essa matriz em forma escalonada, ou seja, ter zeros abaixo dos coeficientes principais. Vamos começar eliminando o 4 e o 2 abaixo do primeiro 1 da primeira coluna. Para isso, vamos fazer umas subtrações.
Primeiro, subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 4R1
Calculando:
4 - 4(1) &= 0 1 - 4(-2) &= 9 -1 - 4(3) &= -13 4 - 4(11) &= -40
Então, a segunda linha fica:
0 & 9 & -13 & | & -40

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 2 abaixo do 1 na primeira coluna, subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 2R1
Calculando:
2 - 2(1) &= 0 -1 - 2(-2) &= 3 3 - 2(3) &= -3 10 - 2(11) &= -12
Então, a terceira linha fica:
0 & 3 & -3 & | & -12
Nossa matriz agora está assim:
1 & -2 & 3 & | & 11 0 & 9 & -13 & | & -40 0 & 3 & -3 & | & -12

Passo 5

Vamos continuar escalonando. Agora, queremos um 1 na posição (2,2). Para isso, dividimos a segunda linha por 9:
R2 = 19R2
Assim, a segunda linha fica:
0 & 1 & -139 & | & -409
A matriz agora é:
1 & -2 & 3 & | & 11 0 & 1 & -139 & | & -409 0 & 3 & -3 & | & -12

Passo 6

Vamos eliminar o 3 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, subtraímos 3 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 3R2
Calculando:
0 - 3(0) &= 0 3 - 3(1) &= 0 -3 - 3(-139) &= -3 + 399 = -3 + 133 = -9 +133 = 43 -12 - 3(-409) &= -12 + 1209 = -12 + 403 = -36 +403 = 43
Então, a terceira linha fica:
0 & 0 & 43 & | & 43
Nossa matriz agora é:
1 & -2 & 3 & | & 11 0 & 1 & -139 & | & -409 0 & 0 & 43 & | & 43

Passo 7

Agora, vamos resolver a terceira equação para encontrar 43x3 = 43 . A equação é:
x3 = 1
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Com x2 - 139x3 = -409 , vamos substituir na segunda equação para encontrar x2 - 139 = -409 :
x2 = -409 + 139 = -279 = -3
Substituindo :
Somando a ambos os lados:

Passo 9

Agora, com x1 - 2x2 + 3x3 = 11 e x1 - 2(-3) + 3(1) = 11 x1 + 6 + 3 = 11 x1 + 9 = 11 , substituímos na primeira equação para encontrar x1 = 2 :
Substituindo:
Subtraindo 9 de ambos os lados:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 2, x2 = -3, x3 = 1

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