Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou é sobre resolver um sistema de equações usando o método de Gauss, que envolve transformar as equações em uma matriz e fazer umas manobras para deixar tudo mais simples e resolver. A gente vai precisar entender como manipular as linhas da matriz para chegar numa forma escalonada, onde é fácil encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações como uma matriz aumentada. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os resultados juntos. Nosso sistema é:
Então, a matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é deixar essa matriz em forma escalonada, ou seja, ter zeros abaixo dos coeficientes principais. Vamos começar eliminando o 4 e o 2 abaixo do primeiro 1 da primeira coluna. Para isso, vamos fazer umas subtrações.
Primeiro, subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 2 abaixo do 1 na primeira coluna, subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora está assim:

Passo 5

Vamos continuar escalonando. Agora, queremos um 1 na posição (2,2). Para isso, dividimos a segunda linha por 9:
Assim, a segunda linha fica:
A matriz agora é:

Passo 6

Vamos eliminar o 3 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, subtraímos 3 vezes a segunda linha da terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:

Passo 7

Agora, vamos resolver a terceira equação para encontrar . A equação é:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Com , vamos substituir na segunda equação para encontrar :
Substituindo :
Somando a ambos os lados:

Passo 9

Agora, com e , substituímos na primeira equação para encontrar :
Substituindo:
Subtraindo 9 de ambos os lados:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes matrizes, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
Seja uma transformação linear definida por . Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de ?
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Calcule sabendo que , e que é uma base negativa, sendo dois a dois ortogonais.