Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou é sobre resolver um sistema de equações usando o método de Gauss, que envolve transformar as equações em uma matriz e fazer umas manobras para deixar tudo mais simples e resolver. A gente vai precisar entender como manipular as linhas da matriz para chegar numa forma escalonada, onde é fácil encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações como uma matriz aumentada. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os resultados juntos. Nosso sistema é:
Então, a matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é deixar essa matriz em forma escalonada, ou seja, ter zeros abaixo dos coeficientes principais. Vamos começar eliminando o 4 e o 2 abaixo do primeiro 1 da primeira coluna. Para isso, vamos fazer umas subtrações.
Primeiro, subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o 2 abaixo do 1 na primeira coluna, subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora está assim:
Passo 5
Vamos continuar escalonando. Agora, queremos um 1 na posição (2,2). Para isso, dividimos a segunda linha por 9:
Assim, a segunda linha fica:
A matriz agora é:
Passo 6
Vamos eliminar o 3 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, subtraímos 3 vezes a segunda linha da terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:
Passo 7
Agora, vamos resolver a terceira equação para encontrar . A equação é:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 8
Com , vamos substituir na segunda equação para encontrar :
Substituindo :
Somando a ambos os lados:
Passo 9
Agora, com e , substituímos na primeira equação para encontrar :