Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante sabendo que as normas dos vetores são , , e que forma uma base ortogonal. Vamos precisar usar propriedades de vetores ortogonais e entender como calcular o determinante de uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores onde cada par de vetores é perpendicular, ou seja, o produto interno entre qualquer par deles é zero: .
Passo 3
Agora, o determinante é conhecido como produto misto ou produto escalar triplo, que pode ser calculado como . Esse determinante também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 4
Quando os vetores formam uma base ortogonal, o cálculo do produto misto fica mais simples. O produto vetorial terá uma magnitude igual ao produto das magnitudes de e : . Além disso, como é ortogonal a ambos e , o ângulo entre e é , então .