Calcule sabendo que e que é uma base ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante sabendo que as normas dos vetores são , , e que forma uma base ortogonal. Vamos precisar usar propriedades de vetores ortogonais e entender como calcular o determinante de uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores onde cada par de vetores é perpendicular, ou seja, o produto interno entre qualquer par deles é zero: .

Passo 3

Agora, o determinante é conhecido como produto misto ou produto escalar triplo, que pode ser calculado como . Esse determinante também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 4

Quando os vetores formam uma base ortogonal, o cálculo do produto misto fica mais simples. O produto vetorial terá uma magnitude igual ao produto das magnitudes de e : . Além disso, como é ortogonal a ambos e , o ângulo entre e é , então .

Passo 5

Substituindo os valores dados:

Resposta

O determinante é igual a .

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