Calcule [u, v, w] sabendo que |u|=1,|v|=2,|w|=3 e que u, v, w é uma base ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante [u, v, w] sabendo que as normas dos vetores são |u|=1, |v|=2, |w|=3 e que u, v, w forma uma base ortogonal. Vamos precisar usar propriedades de vetores ortogonais e entender como calcular o determinante de uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores onde cada par de vetores é perpendicular, ou seja, o produto interno entre qualquer par deles é zero: u cdot v = u cdot w = v cdot w = 0.

Passo 3

Agora, o determinante [u, v, w] é conhecido como produto misto ou produto escalar triplo, que pode ser calculado como u cdot (v times w). Esse determinante também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 4

Quando os vetores formam uma base ortogonal, o cálculo do produto misto fica mais simples. O produto vetorial v times w terá uma magnitude igual ao produto das magnitudes de v e w: |v times w| = |v| cdot |w|. Além disso, como u é ortogonal a ambos v e w, o ângulo entre u e (v times w) é 0^circ, então u cdot (v times w) = |u| cdot |v times w|.

Passo 5

Substituindo os valores dados:
u cdot (v times w) = |u| cdot |v| cdot |w| = 1 cdot 2 cdot 3 = 6

Resposta

O determinante [u, v, w] é igual a 6.

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