Calcule
sabendo que
e que
é uma base ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante
sabendo que as normas dos vetores são
,
,
e que
forma uma base ortogonal. Vamos precisar usar propriedades de vetores ortogonais e entender como calcular o determinante de uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores onde cada par de vetores é perpendicular, ou seja, o produto interno entre qualquer par deles é zero:
.
Passo 3
Agora, o determinante
é conhecido como produto misto ou produto escalar triplo, que pode ser calculado como
. Esse determinante também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 4
Quando os vetores formam uma base ortogonal, o cálculo do produto misto fica mais simples. O produto vetorial
terá uma magnitude igual ao produto das magnitudes de
e
:
. Além disso, como
é ortogonal a ambos
e
, o ângulo entre
e
é
, então
.
Passo 5
Substituindo os valores dados:
Resposta
O determinante
é igual a
.