Dados o ponto A(3,4,-2) e a reta
r:l x=1+t y=2-t z=4+2 t
a) determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r ;
b) calcular a distância de A a r;
R: a)cx=3-2 h y=4 z=-2+h b) raiz20

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado nos dá o ponto A(3,4,-2) e a reta r definida pelas equações paramétricas:
r:l x=1+t y=2-t z=4+2 t
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço, vetores diretores e a fórmula para distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Parte a): Precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r.
Para que duas retas sejam perpendiculares no espaço, o vetor diretor da nova reta deve ser ortogonal ao vetor diretor de r. O vetor diretor de r é v = (1, -1, 2).

Passo 3

Vamos encontrar um vetor diretor u para a nova reta que seja perpendicular a v. Para isso, precisamos que o produto escalar entre u e v seja zero:
u cdot v = 0 u1 cdot 1 + u2 cdot (-1) + u3 cdot 2 = 0
Vamos supor que u2 = 0 para simplificar a equação:
u1 cdot 1 + 0 cdot (-1) + u3 cdot 2 = 0 u1 + 2u3 = 0
Escolhendo u3 = 1, temos u1 = -2. Então, um vetor diretor possível é u = (-2, 0, 1).

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor u = (-2, 0, 1) e o ponto A(3,4,-2), podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada usando o parâmetro h:
c x = 3 - 2h y = 4 z = -2 + h

Passo 5

Parte b): Agora, vamos calcular a distância do ponto A(3,4,-2) até a reta r. A fórmula para a distância d de um ponto P a uma reta definida por um ponto P0 e vetor diretor v é:
d = ||AP0 times v||||v||
Onde AP0 é o vetor que vai de P0 até P.

Passo 6

Primeiro, escolhemos um ponto qualquer na reta r. Vamos escolher t=0, então P0(1,2,4). O vetor AP0 é:
AP0 = P0 - A = (1-3, 2-4, 4-(-2)) = (-2, -2, 6)

Passo 7

Agora, calculamos o produto vetorial AP0 times v:
AP0 times v = i & j & k -2 & -2 & 6 1 & -1 & 2 = i((-2)(2) - (6)(-1)) - j((-2)(2) - (6)(1)) + k((-2)(-1) - (-2)(1))
= i(-4 + 6) - j(-4 -6) + k(2 + 2) = i(2) - j(-10) + k(4) = (2, 10, 4)

Passo 8

Calculamos a magnitude desse vetor:
||AP0 times v|| = raiz2^2 + 10^2 + 4^2 = raiz4 + 100 + 16 = raiz120 = 2raiz30

Passo 9

Também calculamos a magnitude do vetor diretor v:
||v|| = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 10

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 2raiz30raiz6 = 2raiz306 = 2raiz5 = raiz20

Resposta

a)
c x=3-2 h y=4 z=-2+h
b) raiz20

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