Tomemos uma circunferência de raio r centrada na origem e considere o triângulo A B C, onde A=(R, 0), C=(-R, 0) e B=(x, y) com B na circunferência. Mostre usando produto escalar que o triângulo A B C é um triângulo retângulo.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um triângulo inscrito em uma circunferência. O enunciado nos dá os pontos , e , onde está na circunferência de raio centrada na origem. Queremos mostrar, usando produto escalar, que o triângulo é um triângulo retângulo. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar de dois vetores e como ele pode nos ajudar a identificar ângulos retos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os vetores que formam dois lados do triângulo. Vamos considerar os vetores AB = B - A = (x - R, y - 0) = (x - R, y) e CB = B - C = (x - (-R), y - 0) = (x + R, y) .
O vetor vai de para :
O vetor vai de para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar de AB cdot CB = (x - R)(x + R) + y cdot y e AB cdot CB = x^2 - R^2 + y^2 é dado por:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Sabemos que o ponto x^2 + y^2 = R^2 está na circunferência de raio AB cdot CB = (R^2) - R^2 = 0 centrada na origem. Isso significa que a coordenada de satisfaz a equação da circunferência:
Vamos usar essa igualdade para substituir na expressão do produto escalar:

Passo 5

Encontramos que o produto escalar de AB cdot CB = 0 e é zero:
Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90 graus.

Resposta

Portanto, o triângulo é um triângulo retângulo, com o ângulo reto em .

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