Tomemos uma circunferência de raio
centrada na origem e considere o triângulo
, onde
e
com
na circunferência. Mostre usando produto escalar que o triângulo
é um triângulo retângulo.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um triângulo inscrito em uma circunferência. O enunciado nos dá os pontos
,
e
, onde
está na circunferência de raio
centrada na origem. Queremos mostrar, usando produto escalar, que o triângulo
é um triângulo retângulo. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar de dois vetores e como ele pode nos ajudar a identificar ângulos retos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os vetores que formam dois lados do triângulo. Vamos considerar os vetores
e
.
O vetor
vai de
para
:
O vetor
vai de
para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar de
e
é dado por:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Sabemos que o ponto
está na circunferência de raio
centrada na origem. Isso significa que a coordenada de
satisfaz a equação da circunferência:
Vamos usar essa igualdade para substituir
na expressão do produto escalar:
Passo 5
Encontramos que o produto escalar de
e
é zero:
Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90 graus.
Resposta
Portanto, o triângulo
é um triângulo retângulo, com o ângulo reto em
.
Exercícios relacionados
Indique se os sistemas de equações são lineares.
(d)
(d)
Calcule
sabendo que
e que
é uma base ortogonal.
Determine se o terno ordenado dado é solução do sistema de equações lineares.
Considere
e
vetores quaisquer. Prove que:
a) .
b) .
a)
b)