Tomemos uma circunferência de raio centrada na origem e considere o triângulo , onde e com na circunferência. Mostre usando produto escalar que o triângulo é um triângulo retângulo.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um triângulo inscrito em uma circunferência. O enunciado nos dá os pontos , e , onde está na circunferência de raio centrada na origem. Queremos mostrar, usando produto escalar, que o triângulo é um triângulo retângulo. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar de dois vetores e como ele pode nos ajudar a identificar ângulos retos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os vetores que formam dois lados do triângulo. Vamos considerar os vetores e .
O vetor vai de para :
O vetor vai de para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar de e é dado por:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Sabemos que o ponto está na circunferência de raio centrada na origem. Isso significa que a coordenada de satisfaz a equação da circunferência:
Vamos usar essa igualdade para substituir na expressão do produto escalar:

Passo 5

Encontramos que o produto escalar de e é zero:
Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90 graus.

Resposta

Portanto, o triângulo é um triângulo retângulo, com o ângulo reto em .

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(d)
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a) .
b) .