Considere o subespaço do gerado pelos vetores . vetor pertence a ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se o vetor está dentro do subespaço de gerado pelos vetores . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que um vetor pertence a um subespaço gerado por outros vetores. Basicamente, queremos ver se conseguimos escrever o vetor dado como uma combinação linear dos vetores que geram . Ou seja, precisamos encontrar escalares tais que:
Passo 3
Vamos montar isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Observamos que a terceira equação nos dá diretamente o valor de x1 = -1 :
Passo 5
Substituímos nas outras equações:
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Passo 6
Vamos simplificar as equações:
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Passo 7
Agora, observamos que as equações 2 e 4 dão valores diferentes para x2 + 3x3 = 2 e x2 + 3x3 = 32 :
Isso é um absurdo, porque . Ou seja, não há solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Resposta
Não, o vetor não pertence ao subespaço , pois não existe combinação linear dos vetores geradores que resulta nesse vetor.