Seja V um espaço vetorial real com produto interno lang<=, rang<= Mostre as seguintes propriedades:
a. |u+v|^2=|u|^2+2lang<= u, vrang<=+|v|^2 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, em um espaço vetorial real com produto interno lang<= cdot , cdot rang<=, a norma do vetor u+v ao quadrado é igual à soma das normas de u e v ao quadrado mais duas vezes o produto interno de u e v. Ou seja, queremos provar que:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, vrang<= + |v|^2
Para isso, vamos precisar entender o que é produto interno e como ele se relaciona com a norma de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor w em um espaço vetorial com produto interno é definida por:
|w| = raizlang<= w, w rang<=
Então, a norma ao quadrado de w é simplesmente:
|w|^2 = lang<= w, w rang<=
Aplicando isso ao vetor u + v, temos:
|u + v|^2 = lang<= u + v, u + v rang<=

Passo 3

Agora, vamos expandir o produto interno de u + v com ele mesmo. Lembrando que o produto interno é bilinear, ou seja, respeita a distribuição sobre a adição e a multiplicação por escalar. Então:
lang<= u + v, u + v rang<= = lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=

Passo 4

Sabemos que, em espaços vetoriais reais, o produto interno é simétrico. Isso significa que lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=. Portanto, podemos simplificar a expressão anterior:
lang<= u + v, u + v rang<= = lang<= u, u rang<= + 2lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<=

Passo 5

Voltando à definição da norma ao quadrado, temos:
|u|^2 = lang<= u, u rang<= e |v|^2 = lang<= v, v rang<=
Substituindo na expressão expandida, fica:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2

Resposta

Então, demonstramos que:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, vrang<= + |v|^2

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