Seja V um espaço vetorial real com produto interno ,
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, em um espaço vetorial real com produto interno , a norma do vetor ao quadrado é igual à soma das normas de e ao quadrado mais duas vezes o produto interno de e . Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar entender o que é produto interno e como ele se relaciona com a norma de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor em um espaço vetorial com produto interno é definida por:
Então, a norma ao quadrado de é simplesmente:
Aplicando isso ao vetor , temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir o produto interno de com ele mesmo. Lembrando que o produto interno é bilinear, ou seja, respeita a distribuição sobre a adição e a multiplicação por escalar. Então:
Passo 4
Sabemos que, em espaços vetoriais reais, o produto interno é simétrico. Isso significa que . Portanto, podemos simplificar a expressão anterior: