Calcule o único valor de a que faz com que os vectores de
sejam linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam linearmente dependentes. Isso está relacionado ao conteúdo de dependência linear em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como combinar esses vetores para obter o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, ou seja, existem escalares , não todos zero, tais que:

Passo 3

Vamos montar essa combinação:
Isso dá um sistema de equações para cada componente:
  1. (componente 1)
  2. (componente 2) – que já é satisfeita
  3. (componente 3)
  4. (componente 4)

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Agora, substituindo na equação 4:
Como queremos uma solução onde nem todos os são zero, temos que , ou seja, .

Resposta

O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é 2.

Exercícios relacionados

Dada a matriz , faça o que se pede:
(iii) Utilizando operações elementares, calcule .
Sejam as matrizes e
Caso exista uma matriz nas condições dadas, calcule seu traço:
Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da parábola com vértice na origem e foco ;
Dada a matriz , faça o que se pede:
(ii) Calcule usando o método da expansão de Laplace.