Calcule o único valor de a que faz com que os vectores de R^4
v1=(1,0,0,2), v2=(1,0,1,0), v3=(2,0,1, a)
sejam linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam linearmente dependentes. Isso está relacionado ao conteúdo de dependência linear em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como combinar esses vetores para obter o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, ou seja, existem escalares c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 , não todos zero, tais que:

Passo 3

Vamos montar essa combinação:
c1 (1, 0, 0, 2) + c2 (1, 0, 1, 0) + c3 (2, 0, 1, a) = (0, 0, 0, 0)
Isso dá um sistema de equações para cada componente:
  1. (componente 1)
  2. (componente 2) – que já é satisfeita
  3. (componente 3)
  4. (componente 4)

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da equação 3:
c2 + c3 = 0 Rightarrow c2 = -c3
Substituindo na equação 1:
c1 - c3 + 2c3 = 0 Rightarrow c1 + c3 = 0 Rightarrow c1 = -c3
Agora, substituindo 2(-c3) + a c3 = 0 Rightarrow -2c3 + a c3 = 0 Rightarrow c3(a - 2) = 0 na equação 4:
Como queremos uma solução onde nem todos os são zero, temos que , ou seja, .

Resposta

O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é 2.

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