Calcule o único valor de a que faz com que os vectores de
sejam linearmente dependentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de
que faz com que os vetores
,
e
sejam linearmente dependentes. Isso está relacionado ao conteúdo de dependência linear em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como combinar esses vetores para obter o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, ou seja, existem escalares
, não todos zero, tais que:
Passo 3
Vamos montar essa combinação:
Isso dá um sistema de equações para cada componente:
-
(componente 1) -
(componente 2) – que já é satisfeita -
(componente 3) -
(componente 4)
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Agora, substituindo
na equação 4:
Como queremos uma solução onde nem todos os
são zero, temos que
, ou seja,
.
Resposta
O valor de
que torna os vetores linearmente dependentes é 2.