Sejam as matrizes A=[ccc2 & -1 & 3 0 & 4 & 5 -2 & 1 & 4] e B=[ccc1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6]
Caso exista uma matriz C nas condições dadas, calcule seu traço:
(b) (2 A+C^t)^t=A^t+B^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, A e B, e queremos descobrir o traço de uma terceira matriz C. O problema nos dá uma equação envolvendo A, B e C:
(2A + C^t)^t = A^t + B^t
Aqui, vamos usar conceitos de transposta de matriz e traço de matriz. Para resolver, precisamos manipular essa equação para isolar C e então calcular o traço dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a transposta de uma matriz. A transposta, denotada por M^t, é simplesmente a matriz obtida trocando as linhas e colunas de M. Por exemplo, se M = a & b c & d , então M^t = a & c b & d .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa ideia na nossa equação:
(2A + C^t)^t = A^t + B^t
Sabemos que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas, ou seja:
(2A + C^t)^t = (2A)^t + (C^t)^t
E também, a transposta de um escalar multiplicado por uma matriz é igual ao escalar multiplicado pela transposta da matriz:
(2A)^t = 2A^t
Além disso, a transposta da transposta de uma matriz retorna a matriz original:
(C^t)^t = C

Passo 4

Então, substituindo na nossa equação:
2A^t + C = A^t + B^t
Agora, queremos isolar C. Para isso, vamos subtrair 2A^t de ambos os lados da equação:
C = A^t + B^t - 2A^t
Simplificando:
C = B^t - A^t

Passo 5

Agora que temos C = B^t - A^t, vamos calcular as transpostas das matrizes A e B.
Primeiro, a transposta de A:
A^t = 2 & 0 & -2 -1 & 4 & 1 3 & 5 & 4
E a transposta de B:
B^t = 1 & 0 & 4 -3 & 1 & 3 -5 & 2 & 6

Passo 6

Agora, vamos subtrair A^t de B^t para encontrar C:
C = B^t - A^t = 1 - 2 & 0 - 0 & 4 - (-2) -3 - (-1) & 1 - 4 & 3 - 1 -5 - 3 & 2 - 5 & 6 - 4
Calculando cada elemento:
C = -1 & 0 & 6 -2 & -3 & 2 -8 & -3 & 2

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o traço de C. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (elementos onde a linha e a coluna têm o mesmo índice).
Para nossa matriz C:
Traço(C) = C11 + C22 + C33ç
Onde:
  • C11 = -1
  • C22 = -3
  • C33 = 2

Resposta

O traço da matriz C é -1 + (-3) + 2 = -2.

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