Sejam as matrizes e
Caso exista uma matriz nas condições dadas, calcule seu traço:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, e , e queremos descobrir o traço de uma terceira matriz . O problema nos dá uma equação envolvendo , e :
Aqui, vamos usar conceitos de transposta de matriz e traço de matriz. Para resolver, precisamos manipular essa equação para isolar e então calcular o traço dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a transposta de uma matriz. A transposta, denotada por , é simplesmente a matriz obtida trocando as linhas e colunas de . Por exemplo, se , então .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa ideia na nossa equação:
Sabemos que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas, ou seja:
E também, a transposta de um escalar multiplicado por uma matriz é igual ao escalar multiplicado pela transposta da matriz:
Além disso, a transposta da transposta de uma matriz retorna a matriz original:

Passo 4

Então, substituindo na nossa equação:
Agora, queremos isolar . Para isso, vamos subtrair de ambos os lados da equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos , vamos calcular as transpostas das matrizes e .
Primeiro, a transposta de :
E a transposta de :

Passo 6

Agora, vamos subtrair de para encontrar :
Calculando cada elemento:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o traço de . O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (elementos onde a linha e a coluna têm o mesmo índice).
Para nossa matriz :
ç
Onde:

Resposta

O traço da matriz é .

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
Dada a matriz , faça o que se pede:
(iii) Utilizando operações elementares, calcule .
Calcule o único valor de a que faz com que os vectores de
sejam linearmente dependentes.