Sejam as matrizes e
Caso exista uma matriz nas condições dadas, calcule seu traço:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, e , e queremos descobrir o traço de uma terceira matriz . O problema nos dá uma equação envolvendo , e :
Aqui, vamos usar conceitos de transposta de matriz e traço de matriz. Para resolver, precisamos manipular essa equação para isolar e então calcular o traço dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a transposta de uma matriz. A transposta, denotada por , é simplesmente a matriz obtida trocando as linhas e colunas de . Por exemplo, se , então .
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa ideia na nossa equação:
Sabemos que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas, ou seja:
E também, a transposta de um escalar multiplicado por uma matriz é igual ao escalar multiplicado pela transposta da matriz:
Além disso, a transposta da transposta de uma matriz retorna a matriz original:
Passo 4
Então, substituindo na nossa equação:
Agora, queremos isolar . Para isso, vamos subtrair de ambos os lados da equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos , vamos calcular as transpostas das matrizes e .
Primeiro, a transposta de :
E a transposta de :
Passo 6
Agora, vamos subtrair de para encontrar :
Calculando cada elemento:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o traço de . O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (elementos onde a linha e a coluna têm o mesmo índice).