Sejam as matrizes e B=[ccc1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6]
Caso exista uma matriz C nas condições dadas, calcule seu traço:
(b) (2 A+C^t)^t=A^t+B^t
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, A e B, e queremos descobrir o traço de uma terceira matriz C. O problema nos dá uma equação envolvendo A, B e C:
(2A + C^t)^t = A^t + B^t
Aqui, vamos usar conceitos de transposta de matriz e traço de matriz. Para resolver, precisamos manipular essa equação para isolar C e então calcular o traço dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a transposta de uma matriz. A transposta, denotada por M^t, é simplesmente a matriz obtida trocando as linhas e colunas de M. Por exemplo, se M = a & b c & d , então M^t = a & c b & d .
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa ideia na nossa equação:
(2A + C^t)^t = A^t + B^t
Sabemos que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas, ou seja:
(2A + C^t)^t = (2A)^t + (C^t)^t
E também, a transposta de um escalar multiplicado por uma matriz é igual ao escalar multiplicado pela transposta da matriz:
(2A)^t = 2A^t
Além disso, a transposta da transposta de uma matriz retorna a matriz original:
(C^t)^t = C
Passo 4
Então, substituindo na nossa equação:
2A^t + C = A^t + B^t
Agora, queremos isolar C. Para isso, vamos subtrair 2A^t de ambos os lados da equação:
C = A^t + B^t - 2A^t
Simplificando:
C = B^t - A^t
Passo 5
Agora que temos C = B^t - A^t, vamos calcular as transpostas das matrizes A e B.
Primeiro, a transposta de A:
A^t = 2 & 0 & -2 -1 & 4 & 1 3 & 5 & 4
E a transposta de B:
B^t = 1 & 0 & 4 -3 & 1 & 3 -5 & 2 & 6
Passo 6
Agora, vamos subtrair A^t de B^t para encontrar C:
Finalmente, vamos calcular o traço de C. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (elementos onde a linha e a coluna têm o mesmo índice).