Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da parábola com vértice na origem e foco ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem e o foco no ponto . Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica que tratam das parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma parábola com vértice na origem e foco no eixo das é dada por:
Aqui, representa a distância entre o vértice e o foco da parábola.
Passo 3
No nosso caso, o foco está no ponto . Como o vértice é na origem , a distância é 8 unidades. Isso porque é a distância do vértice até o foco ao longo do eixo da parábola.
Passo 4
Agora que sabemos o valor de , podemos substituir na equação padrão da parábola:
Então, a equação da parábola é .
Passo 5
Para esboçar o gráfico da parábola, vamos considerar alguns pontos. Sabemos que o vértice está na origem e o foco em . Como , a parábola se abre para a direita.
Alguns pontos que podemos calcular:
Quando , (vértice).
Quando , , então .
Plotando esses pontos e lembrando que a parábola é simétrica em relação ao eixo , conseguimos desenhar o gráfico.
Resposta
A equação da parábola com vértice na origem e foco em é: