Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da parábola com vértice na origem e foco (8,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem (0,0) e o foco no ponto (8,0). Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica que tratam das parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma parábola com vértice na origem e foco no eixo das y^2 = 4p x é dada por:
Aqui, representa a distância entre o vértice e o foco da parábola.

Passo 3

No nosso caso, o foco está no ponto (8,0). Como o vértice é na origem (0,0), a distância p = 8 é 8 unidades. Isso porque é a distância do vértice até o foco ao longo do eixo da parábola.

Passo 4

Agora que sabemos o valor de y^2 = 4p x y^2 = 4 times 8 times x y^2 = 32x , podemos substituir na equação padrão da parábola:
Então, a equação da parábola é .

Passo 5

Para esboçar o gráfico da parábola, vamos considerar alguns pontos. Sabemos que o vértice está na origem (0,0) e o foco em (8,0). Como , a parábola se abre para a direita.
Alguns pontos que podemos calcular:
  • Quando , (vértice).
  • Quando , , então .
Plotando esses pontos e lembrando que a parábola é simétrica em relação ao eixo , conseguimos desenhar o gráfico.

Resposta

A equação da parábola com vértice na origem e foco em (8,0) é:
y^2 = 32x

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