Dada a matriz , faça o que se pede:
(iii) Utilizando operações elementares, calcule .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Temos a matriz e precisamos encontrar a sua inversa usando operações elementares. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para isso, vamos usar o método de transformação da matriz na matriz identidade através de operações nas linhas, e aplicar essas mesmas operações na matriz identidade para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ao lado da matriz identidade para formar uma matriz aumentada :

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda na identidade usando operações nas linhas. Cada operação que fizermos na parte esquerda também será feita na parte direita. Vamos começar pelo elemento . Queremos que ele seja 1, então vamos multiplicar a linha 1 por :

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 (na coluna 1). Vamos subtrair a linha 1 da linha 3 e subtrair 4 vezes a linha 1 da linha 4.

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o elemento já está bom, agora vamos zerar os elementos acima e abaixo dele. Primeiro, vamos adicionar vezes a linha 2 à linha 1 para zerar o elemento acima:
Depois, vamos subtrair vezes a linha 2 da linha 3 e subtrair 3 vezes a linha 2 da linha 4:

Passo 6

Agora, focamos na terceira coluna. Queremos que o elemento esteja bom. Vamos zerar os elementos acima e abaixo dele. Primeiro, vamos subtrair vezes a linha 3 da linha 1:
Depois, vamos subtrair a linha 3 da linha 4:

Passo 7

Finalmente, vamos trabalhar na quarta coluna para obter o . Primeiro, multiplicamos a linha 4 por :
Depois, vamos zerar os elementos acima desse 1 na quarta coluna. Subtrairemos vezes a linha 4 da linha 1, subtraremos vezes a linha 4 da linha 2 e adicionaremos vezes a linha 4 da linha 3:

Resposta

Pronto! A matriz inversa é:

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