Dada a matriz A=(cccc-2 & 3 & 1 & -11 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1), faça o que se pede:
(iii) Utilizando operações elementares, calcule A^-1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Temos a matriz e precisamos encontrar a sua inversa usando operações elementares. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para isso, vamos usar o método de transformação da matriz na matriz identidade através de operações nas linhas, e aplicar essas mesmas operações na matriz identidade para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [cccc|cccc -2 & 3 & 1 & -11 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 4 & -3 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] ao lado da matriz identidade para formar uma matriz aumentada :

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda Linha 1 = Linha 1 times (-12) na identidade usando operações nas linhas. Cada operação que fizermos na parte esquerda também será feita na parte direita. Vamos começar pelo elemento [cccc|cccc 1 & -32 & -12 & 112 & -12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 4 & -3 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] . Queremos que ele seja 1, então vamos multiplicar a linha 1 por :

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 (na coluna 1). Vamos subtrair a linha 1 da linha 3 e subtrair 4 vezes a linha 1 da linha 4.
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
Linha 4 = Linha 4 - 4 times Linha 1
[cccc|cccc 1 & -32 & -12 & 112 & -12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 12 & 32 & -152 & 12 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 7 & -21 & 2 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o elemento Linha 1 = Linha 1 + 32 times Linha 2 já está bom, agora vamos zerar os elementos acima e abaixo dele. Primeiro, vamos adicionar Linha 3 = Linha 3 - 12 times Linha 2 vezes a linha 2 à linha 1 para zerar o elemento acima:
Linha 4 = Linha 4 - 3 times Linha 2
Depois, vamos subtrair [cccc|cccc 1 & 0 & 2 & 6 & -12 & 32 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -92 & 12 & -12 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -12 & 2 & -3 & 0 & 1 ] vezes a linha 2 da linha 3 e subtrair 3 vezes a linha 2 da linha 4:

Passo 6

Agora, focamos na terceira coluna. Queremos que o elemento Linha 1 = Linha 1 - 2 times Linha 3 esteja bom. Vamos zerar os elementos acima e abaixo dele. Primeiro, vamos subtrair Linha 4 = Linha 4 - Linha 3 vezes a linha 3 da linha 1:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 15 & -22 & 2 & -2 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -92 & 12 & -12 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -152 & 32 & -52 & -1 & 1 ]
Depois, vamos subtrair a linha 3 da linha 4:

Passo 7

Finalmente, vamos trabalhar na quarta coluna para obter o Linha 4 = Linha 4 times (-215) . Primeiro, multiplicamos a linha 4 por Linha 1 = Linha 1 - 15 times Linha 4 :
Linha 2 = Linha 2 - 3 times Linha 4
Depois, vamos zerar os elementos acima desse 1 na quarta coluna. Subtrairemos Linha 3 = Linha 3 + 92 times Linha 4 vezes a linha 4 da linha 1, subtraremos [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 4 & -1 & 2 0 & 1 & 2 & 0 & -3 & 4 & 2 & -3 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & -3 & 52 & -92 0 & 0 & 0 & 1 & -15 & 13 & 15 & -215 ] vezes a linha 4 da linha 2 e adicionaremos vezes a linha 4 da linha 3:

Resposta

Pronto! A matriz inversa A^-1 = [cccc -2 & 4 & -1 & 2 -3 & 4 & 2 & -3 3 & -3 & 52 & -92 -15 & 13 & 15 & -215 ] é:

Exercícios relacionados