Dada a matriz , faça o que se pede:
(ii) Calcule usando o método da expansão de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz usando o método da expansão de Laplace. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como a expansão de Laplace funciona. Basicamente, determinantes são números que resumem certas propriedades das matrizes, como se são invertíveis ou não. A expansão de Laplace é uma técnica que nos ajuda a calcular o determinante de matrizes maiores quebrando-o em determinantes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que estamos trabalhando:
Para facilitar o cálculo usando a expansão de Laplace, geralmente escolhemos uma linha ou coluna que tenha mais zeros, pois isso simplifica os cálculos. Olhando para a matriz, percebemos que a segunda linha tem um zero, então vamos expandir por essa linha.

Passo 3

Vamos lembrar como funciona a expansão de Laplace. Para calcular o determinante usando uma linha específica, fazemos a soma dos produtos dos elementos dessa linha pelos seus respectivos cofatores. A fórmula geral é:
Onde:
  • é o elemento da linha e coluna .
  • é a matriz que resulta de remover a linha e a coluna de .
  • é o sinal que alterna.
Como vamos expandir pela segunda linha ( ), vamos calcular para cada elemento dessa linha.

Passo 4

A segunda linha da matriz é . Vamos calcular cada termo da expansão:
  1. Elemento :
    Mas como , esse termo será zero.
  2. Elemento :
    Vamos calcular .
  3. Elemento :
    Vamos calcular .
  4. Elemento :
    Vamos calcular .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as matrizes menores , e :
  1. Para (removendo linha 2 e coluna 2):
  2. Para (removendo linha 2 e coluna 3):
  3. Para (removendo linha 2 e coluna 4):

Passo 6

Agora, precisamos calcular os determinantes dessas matrizes menores . Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace novamente. Vamos optar pela regra de Sarrus para facilitar.
  1. Calculando :
  2. Calculando :
  3. Calculando :

Passo 7

Agora que temos os determinantes dos menores, voltamos à expansão de Laplace:
Substituindo os valores:

Resposta

O determinante da matriz é .

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