Dada a matriz , faça o que se pede:
(ii) Calcule usando o método da expansão de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz usando o método da expansão de Laplace. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como a expansão de Laplace funciona. Basicamente, determinantes são números que resumem certas propriedades das matrizes, como se são invertíveis ou não. A expansão de Laplace é uma técnica que nos ajuda a calcular o determinante de matrizes maiores quebrando-o em determinantes menores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que estamos trabalhando:
Para facilitar o cálculo usando a expansão de Laplace, geralmente escolhemos uma linha ou coluna que tenha mais zeros, pois isso simplifica os cálculos. Olhando para a matriz, percebemos que a segunda linha tem um zero, então vamos expandir por essa linha.
Passo 3
Vamos lembrar como funciona a expansão de Laplace. Para calcular o determinante usando uma linha específica, fazemos a soma dos produtos dos elementos dessa linha pelos seus respectivos cofatores. A fórmula geral é:
Onde:
é o elemento da linha e coluna .
é a matriz que resulta de remover a linha e a coluna de .
é o sinal que alterna.
Como vamos expandir pela segunda linha (), vamos calcular para cada elemento dessa linha.
Passo 4
A segunda linha da matriz é . Vamos calcular cada termo da expansão:
Elemento :
Mas como , esse termo será zero.
Elemento :
Vamos calcular .
Elemento :
Vamos calcular .
Elemento :
Vamos calcular .
Passo 5
Agora, vamos encontrar as matrizes menores , e :
Para (removendo linha 2 e coluna 2):
Para (removendo linha 2 e coluna 3):
Para (removendo linha 2 e coluna 4):
Passo 6
Agora, precisamos calcular os determinantes dessas matrizes menores . Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace novamente. Vamos optar pela regra de Sarrus para facilitar.
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 7
Agora que temos os determinantes dos menores, voltamos à expansão de Laplace: