Dada a matriz , faça o que se pede:
(ii) Calcule det A usando o método da expansão de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz usando o método da expansão de Laplace. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como a expansão de Laplace funciona. Basicamente, determinantes são números que resumem certas propriedades das matrizes, como se são invertíveis ou não. A expansão de Laplace é uma técnica que nos ajuda a calcular o determinante de matrizes maiores quebrando-o em determinantes menores.
Para facilitar o cálculo usando a expansão de Laplace, geralmente escolhemos uma linha ou coluna que tenha mais zeros, pois isso simplifica os cálculos. Olhando para a matriz, percebemos que a segunda linha tem um zero, então vamos expandir por essa linha.
Passo 3
Vamos lembrar como funciona a expansão de Laplace. Para calcular o determinante usando uma linha específica, fazemos a soma dos produtos dos elementos dessa linha pelos seus respectivos cofatores. A fórmula geral é:
det(A) = sumj=1^n (-1)^i+j aij det(Mij)
Onde:
é o elemento da linha e coluna .
é a matriz que resulta de remover a linha e a coluna de .
é o sinal que alterna.
Como vamos expandir pela segunda linha (), vamos calcular para cada elemento dessa linha.
Passo 4
A segunda linha da matriz C21 = (-1)^2+1 cdot det(M21) = -det(M21) é C22 = (-1)^2+2 cdot det(M22) = det(M22) . Vamos calcular cada termo da expansão:
Agora, precisamos calcular os determinantes dessas matrizes menores det(M22) = (-2)(1)(1) + (1)(-2)(4) + (-11)(1)(5) - (-11)(1)(4) - (1)(-2)(-2) - (-2)(1)(5) . Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace novamente. Vamos optar pela regra de Sarrus para facilitar.