Dada a matriz A=(cccc-2 & 3 & 1 & -11 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1), faça o que se pede:
(ii) Calcule det A usando o método da expansão de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz usando o método da expansão de Laplace. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como a expansão de Laplace funciona. Basicamente, determinantes são números que resumem certas propriedades das matrizes, como se são invertíveis ou não. A expansão de Laplace é uma técnica que nos ajuda a calcular o determinante de matrizes maiores quebrando-o em determinantes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = -2 & 3 & 1 & -11 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1 que estamos trabalhando:
Para facilitar o cálculo usando a expansão de Laplace, geralmente escolhemos uma linha ou coluna que tenha mais zeros, pois isso simplifica os cálculos. Olhando para a matriz, percebemos que a segunda linha tem um zero, então vamos expandir por essa linha.

Passo 3

Vamos lembrar como funciona a expansão de Laplace. Para calcular o determinante usando uma linha específica, fazemos a soma dos produtos dos elementos dessa linha pelos seus respectivos cofatores. A fórmula geral é:
det(A) = sumj=1^n (-1)^i+j aij det(Mij)
Onde:
  • é o elemento da linha e coluna .
  • é a matriz que resulta de remover a linha e a coluna de .
  • é o sinal que alterna.
Como vamos expandir pela segunda linha ( ), vamos calcular para cada elemento dessa linha.

Passo 4

A segunda linha da matriz C21 = (-1)^2+1 cdot det(M21) = -det(M21) é C22 = (-1)^2+2 cdot det(M22) = det(M22) . Vamos calcular cada termo da expansão:
  1. Elemento C23 = (-1)^2+3 cdot det(M23) = -det(M23) :
    C24 = (-1)^2+4 cdot det(M24) = det(M24)
    Mas como , esse termo será zero.
  2. Elemento :
    Vamos calcular .
  3. Elemento :
    Vamos calcular .
  4. Elemento :
    Vamos calcular .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as matrizes menores M22 = -2 & 1 & -11 1 & 1 & -2 4 & 5 & 1 , M23 = -2 & 3 & -11 1 & -1 & -2 4 & -3 & 1 e M24 = -2 & 3 & 1 1 & -1 & 1 4 & -3 & 5 :
  1. Para (removendo linha 2 e coluna 2):
  2. Para (removendo linha 2 e coluna 3):
  3. Para (removendo linha 2 e coluna 4):

Passo 6

Agora, precisamos calcular os determinantes dessas matrizes menores det(M22) = (-2)(1)(1) + (1)(-2)(4) + (-11)(1)(5) - (-11)(1)(4) - (1)(-2)(-2) - (-2)(1)(5) . Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace novamente. Vamos optar pela regra de Sarrus para facilitar.
  1. Calculando = (-2) + (-8) + (-55) - (-44) - (2) - (-10) = -2 -8 -55 +44 -2 +10 = -13 :
    det(M23) = (-2)(-1)(1) + (3)(-2)(4) + (-11)(1)(-3) - (-11)(-1)(4) - (-2)(1)(-3) - (-1)(-2)(1)
    = 2 + (-24) + 33 - 44 - 6 - 2 = 2 -24 +33 -44 -6 -2 = -41
  2. Calculando det(M24) = (-2)(-1)(5) + (3)(1)(4) + (1)(-3)(1) - (1)(-1)(4) - (3)(-3)(-2) - (-2)(1)(1) :
    = 10 + 12 -3 - (-4) -9 - (-2) = 10 +12 -3 +4 -9 +2 = 16
  3. Calculando :

Passo 7

Agora que temos os determinantes dos menores, voltamos à expansão de Laplace:
det(A) = a21 cdot C21 + a22 cdot C22 + a23 cdot C23 + a24 cdot C24
Substituindo os valores:
det(A) = 0 cdot (-det(M21)) + 1 cdot (-13) + 2 cdot (-(-41)) + 3 cdot 16
det(A) = 0 + (-13) + 2 cdot 41 + 48
det(A) = -13 + 82 + 48 = 117

Resposta

O determinante da matriz é .

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