Calcule, usando conceito de Derivada, aproximadamente o valor de

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente precisa calcular, usando o conceito de derivada, aproximadamente o valor de . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente o uso da derivada para aproximação de valores de funções próximas a um ponto conhecido. Vamos precisar da fórmula da derivada do produto e saber como usar a aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos trabalhando. Temos . Queremos aproximar , mas calcular isso diretamente seria um pouco trabalhoso, então vamos usar a derivada para facilitar.

Passo 3

Vamos escolher um ponto próximo onde é fácil calcular e . O número 1.002 está bem perto de 1, então vamos usar como nosso ponto de referência.

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Isso é direto, mas o importante aqui é termos um valor base.

Passo 5

Em seguida, precisamos da derivada de . Usamos a regra do produto:
Então,

Passo 6

Vamos calcular :
Isso nos dará a taxa de variação da função no ponto .

Passo 7

Agora, para aproximar , usamos a fórmula da aproximação linear:
Aqui, e .

Passo 8

Substituindo os valores:

Resposta

Portanto, o valor aproximado de é .

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