Um ponto move-se ao longo da elipse de equação x^2 + 2y^2 = 6. Determine os pontos da elipse que satisfazem a equação d x/d t = -d y/d t.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um ponto que se move ao longo da elipse descrita pela equação . A gente precisa encontrar os pontos dessa elipse onde a derivada de em relação ao tempo ( ) é igual a menos a derivada de em relação ao tempo ( ). Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação da elipse em relação ao tempo . Aplicando a regra da derivada para cada termo:
Isso resulta em:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é e a de é .

Passo 3

Sabemos pelo enunciado que . Vamos substituir isso na equação que obtivemos:
Simplificando:

Passo 4

Podemos fatorar da equação:
Para que essa equação seja verdadeira, ou ou . Se , isso implicaria que , ou seja, o ponto está parado, o que não nos interessa. Então, vamos considerar:

Passo 5

Resolvendo para :
Agora temos uma relação entre e . Vamos usar essa relação para encontrar os pontos na elipse.

Passo 6

Substituímos na equação da elipse:
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos os valores de , vamos encontrar :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos da elipse que satisfazem são e .

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