Um ponto move-se ao longo da elipse de equação
. Determine os pontos da elipse que satisfazem a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um ponto que se move ao longo da elipse descrita pela equação
. A gente precisa encontrar os pontos dessa elipse onde a derivada de
em relação ao tempo (
) é igual a menos a derivada de
em relação ao tempo (
). Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação da elipse em relação ao tempo
. Aplicando a regra da derivada para cada termo:
Isso resulta em:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 3
Sabemos pelo enunciado que
. Vamos substituir isso na equação que obtivemos:
Simplificando:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Para que essa equação seja verdadeira, ou
ou
. Se
, isso implicaria que
, ou seja, o ponto está parado, o que não nos interessa. Então, vamos considerar:
Passo 5
Resolvendo para
:
Agora temos uma relação entre
e
. Vamos usar essa relação para encontrar os pontos na elipse.
Passo 6
Substituímos
na equação da elipse:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos da elipse que satisfazem
são
e
.
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Derive
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. (Valor: 2,0 pontos)
Questão 04 Em cada caso, faça o que se pede (Valor: 5,0 pontos):
a) Encontre a derivada de (Valor: 1,0 ponto)
a) Encontre a derivada de