Questão 03 Faça um esboço completo do gráfico da função
. (Valor: 2,0 pontos)
Passo 1
Vamos resolver a questão de esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções exponenciais e técnicas de análise de gráficos. Precisaremos identificar domínio, imagem, interceptos, assíntotas, simetria e comportamento da função.
Passo 2
Domínio e Imagem: Primeiro, vamos determinar onde a função está definida. A função exponencial
está definida para todos os valores de
, pois a exponencial aceita qualquer número real. Portanto, o domínio é
(todos os reais).
A imagem da função é o conjunto de valores de
. Sabemos que
para todo
, então
. Assim, a imagem é
.
Passo 3
Intercepto com o eixo
: Para encontrar o intercepto com o eixo
, calculamos
quando
:
Portanto, o intercepto com o eixo
está em
.
Intercepto com o eixo
: Procuramos
tal que
:
No entanto,
é sempre positivo, então não existe valor de
que torne
. Portanto, a função não intercepta o eixo
.
Passo 4
Assíntotas Horizontais: Vamos analisar o comportamento de
quando
tende para
.
Quando
vai para
ou
,
tende para
, então
tende para
, e
tende para 0.
Assim,
tende para 1. Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Simetria: Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria. Uma função é par se
.
Como
, a função é par e, portanto, simétrica em relação ao eixo
.
Passo 6
Comportamento da Função: Vamos analisar se a função está aumentando ou diminuindo em diferentes intervalos. Calculamos a derivada de
em relação a
:
Para encontrar pontos críticos, igualamos
:
Como
nunca é zero, temos
, ou seja,
.
Analisando o sinal da derivada:
- Para
: (a função está crescente). - Para
: (a função está decrescente).
Portanto, a função atinge um ponto máximo em
, que já encontramos ser
.
Passo 7
Esboço do Gráfico: Com todas as informações:
- Domínio:
- Imagem:
- Intercepto no
: - Assíntota horizontal:
- Simetria: em relação ao eixo
- Comportamento: crescente para
, máximo em , decrescente para
O gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo
, atingindo o ponto mais alto em
e aproximando-se da linha
quando
tende para
.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva simétrica em relação ao eixo
, com um ponto máximo em
, nunca cruzando o eixo
e aproximando-se da assíntota horizontal
conforme
se afasta de zero em ambas as direções.
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.
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Questão 04 Em cada caso, faça o que se pede (Valor: 5,0 pontos):
a) Encontre a derivada de (Valor: 1,0 ponto)
a) Encontre a derivada de
Questão 04 Em cada caso, faça o que se pede (Valor: 5,0 pontos):
b) Encontre a derivada de
(Valor: 1,0 ponto)
b) Encontre a derivada de
(Valor: 1,0 ponto)