Questão 03 Faça um esboço completo do gráfico da função . (Valor: 2,0 pontos)

Passo 1

Vamos resolver a questão de esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções exponenciais e técnicas de análise de gráficos. Precisaremos identificar domínio, imagem, interceptos, assíntotas, simetria e comportamento da função.

Passo 2

Domínio e Imagem: Primeiro, vamos determinar onde a função está definida. A função exponencial está definida para todos os valores de , pois a exponencial aceita qualquer número real. Portanto, o domínio é (todos os reais).
A imagem da função é o conjunto de valores de . Sabemos que para todo , então . Assim, a imagem é .

Passo 3

Intercepto com o eixo : Para encontrar o intercepto com o eixo , calculamos quando :
Portanto, o intercepto com o eixo está em .
Intercepto com o eixo : Procuramos tal que :
No entanto, é sempre positivo, então não existe valor de que torne . Portanto, a função não intercepta o eixo .

Passo 4

Assíntotas Horizontais: Vamos analisar o comportamento de quando tende para .
Quando vai para ou , tende para , então tende para , e tende para 0.
Assim, tende para 1. Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Simetria: Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria. Uma função é par se .
Como , a função é par e, portanto, simétrica em relação ao eixo .

Passo 6

Comportamento da Função: Vamos analisar se a função está aumentando ou diminuindo em diferentes intervalos. Calculamos a derivada de em relação a :
Para encontrar pontos críticos, igualamos :
Como nunca é zero, temos , ou seja, .
Analisando o sinal da derivada:
  • Para : (a função está crescente).
  • Para : (a função está decrescente).
Portanto, a função atinge um ponto máximo em , que já encontramos ser .

Passo 7

Esboço do Gráfico: Com todas as informações:
  • Domínio:
  • Imagem:
  • Intercepto no :
  • Assíntota horizontal:
  • Simetria: em relação ao eixo
  • Comportamento: crescente para , máximo em , decrescente para
O gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo , atingindo o ponto mais alto em e aproximando-se da linha quando tende para .

Resposta

O gráfico da função é uma curva simétrica em relação ao eixo , com um ponto máximo em , nunca cruzando o eixo e aproximando-se da assíntota horizontal conforme se afasta de zero em ambas as direções.

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