Calcule, usando a definição, a derivada da função . Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função usando a definição de derivada. Depois, com essa derivada, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos precisar saber o que é derivada e como usar a definição de limite para encontrá-la.

Passo 2

A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. A definição de derivada é:
Vamos aplicar essa definição para a função .

Passo 3

Substituindo na definição, temos:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é :

Passo 5

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, o limite fica:

Passo 6

Cancelando o no numerador e denominador:
Agora, ao fazer , temos:

Passo 7

Agora que temos a derivada , vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:

Passo 8

Com a inclinação e passando pelo ponto , usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
f)
Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
e)
Dada a função encontre suas raízes, interceptos com o eixo y, assíntotas e o(s) intervalo(s) onde .
Calcule, usando a definição e também usando as regras para conferir, a derivada da função . Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .