Calcule, usando a definição, a derivada da função
. Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função
usando a definição de derivada. Depois, com essa derivada, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos precisar saber o que é derivada e como usar a definição de limite para encontrá-la.
Passo 2
A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. A definição de derivada é:
Vamos aplicar essa definição para a função
.
Passo 3
Substituindo
na definição, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é
:
Passo 5
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, o limite fica:
Passo 6
Cancelando o
no numerador e denominador:
Agora, ao fazer
, temos:
Passo 7
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
na derivada:
Passo 8
Com a inclinação
e passando pelo ponto
, usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
f)
f)
Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
e)
e)
Dada a função
encontre suas raízes, interceptos com o eixo y, assíntotas e o(s) intervalo(s) onde
.
Calcule, usando a definição e também usando as regras para conferir, a derivada da função
. Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.