Calcule, usando a definição e também usando as regras para conferir, a derivada da função
. Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função
de duas maneiras diferentes: usando a definição de derivada e utilizando as regras de derivação. Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva dessa função no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e como usar elas para achar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada usando a definição. A definição da derivada de uma função
no ponto
é:
Vamos aplicar isso na nossa função
.
Passo 3
Substituindo na definição:
Simplificando os denominadores:
Passo 4
Vamos juntar as frações no numerador:
Distribuindo o 3:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite quando
tende a 0:
Então, essa é a derivada usando a definição.
Passo 6
Agora vamos calcular a derivada usando as regras de derivação. A função dada é
. Podemos reescrevê-la como
.
Aplicando a regra do poder, que diz que se
, então
, temos:
Confirmamos que a derivada é a mesma usando as regras.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, precisamos do ponto de tangência e da inclinação da reta.
Sabemos que o ponto é
, e a inclinação da reta tangente nesse ponto é dada pela derivada avaliada em
.
Calculando a derivada em
:
Passo 8
Com a inclinação
e o ponto
, usamos a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função
é
. A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Dada a função
encontre suas raízes, interceptos com o eixo y, assíntotas e o(s) intervalo(s) onde
.
Calcule, usando a definição, a derivada da função
. Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Suponha que
, encontre os valores de:
Encontre a derivada de
de duas maneiras: usando a Regra do Produto e fazendo primeiro a multiplicação. As respostas são iguais?