Calcule, usando a definição e também usando as regras para conferir, a derivada da função . Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função de duas maneiras diferentes: usando a definição de derivada e utilizando as regras de derivação. Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e como usar elas para achar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada usando a definição. A definição da derivada de uma função no ponto é:
Vamos aplicar isso na nossa função .

Passo 3

Substituindo na definição:
Simplificando os denominadores:

Passo 4

Vamos juntar as frações no numerador:
Distribuindo o 3:
Simplificando:

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando tende a 0:
Então, essa é a derivada usando a definição.

Passo 6

Agora vamos calcular a derivada usando as regras de derivação. A função dada é . Podemos reescrevê-la como .
Aplicando a regra do poder, que diz que se , então , temos:
Confirmamos que a derivada é a mesma usando as regras.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos do ponto de tangência e da inclinação da reta.
Sabemos que o ponto é , e a inclinação da reta tangente nesse ponto é dada pela derivada avaliada em .
Calculando a derivada em :

Passo 8

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é . A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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Calcule, usando a definição, a derivada da função . Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .
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Encontre a derivada de de duas maneiras: usando a Regra do Produto e fazendo primeiro a multiplicação. As respostas são iguais?