Dada a função encontre suas raízes, interceptos com o eixo y, assíntotas e o(s) intervalo(s) onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . O que precisamos encontrar são:
  1. Raízes da função (valores de que fazem ).
  2. Intercepto com o eixo y (quando ).
  3. Assíntotas (linhas que a função se aproxima mas nunca toca).
  4. Intervalos onde a derivada (onde a função está crescendo ou constante).
Vamos precisar de conhecimentos de álgebra para raízes e interceptos, e de cálculo para derivadas e análise de crescimento.

Passo 2

Encontrando as raízes da função
As raízes são os valores de onde . Ou seja:
Para uma fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero).
Então, resolvemos:
Portanto, as raízes da função são e .

Passo 3

Encontrando o intercepto com o eixo y
O intercepto com o eixo y ocorre quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo y é .

Passo 4

Encontrando as assíntotas
As assíntotas podem ser verticais ou horizontais.
  1. Assíntotas Verticais: Ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Portanto, temos assíntotas verticais em e .
  1. Assíntota Horizontal: Analisamos o limite da função quando tende ao infinito.
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Encontrando os intervalos onde
Primeiro, vamos calcular a derivada de . A função é uma fração, então usamos a regra do quociente:
Se , então:
Para nossa função:
Então,
Queremos saber onde :
O denominador é sempre positivo (a menos que , onde a função não está definida). Então, a desigualdade depende somente do numerador:
Portanto, quando , exceto nos pontos onde a função não está definida ( e ).

Resposta

As raízes da função são e . O intercepto com o eixo y é . As assíntotas verticais estão em e , e a assíntota horizontal é . A derivada é maior ou igual a zero para todos os , exceto nos pontos e onde a função não está definida.

Exercícios relacionados

Calcule, usando a definição, a derivada da função . Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .
Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
f)
Calcule, usando a definição e também usando as regras para conferir, a derivada da função . Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .
Suponha que , encontre os valores de: