Dada a função
encontre suas raízes, interceptos com o eixo y, assíntotas e o(s) intervalo(s) onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. O que precisamos encontrar são:
- Raízes da função (valores de
que fazem ). - Intercepto com o eixo y (quando
). - Assíntotas (linhas que a função se aproxima mas nunca toca).
- Intervalos onde a derivada
(onde a função está crescendo ou constante).
Vamos precisar de conhecimentos de álgebra para raízes e interceptos, e de cálculo para derivadas e análise de crescimento.
Passo 2
Encontrando as raízes da função
As raízes são os valores de
onde
. Ou seja:
Para uma fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero).
Então, resolvemos:
Portanto, as raízes da função são
e
.
Passo 3
Encontrando o intercepto com o eixo y
O intercepto com o eixo y ocorre quando
. Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo y é
.
Passo 4
Encontrando as assíntotas
As assíntotas podem ser verticais ou horizontais.
- Assíntotas Verticais: Ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Portanto, temos assíntotas verticais em
e
.
- Assíntota Horizontal: Analisamos o limite da função quando
tende ao infinito.
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Encontrando os intervalos onde
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função é uma fração, então usamos a regra do quociente:
Se
, então:
Para nossa função:
Então,
Queremos saber onde
:
O denominador
é sempre positivo (a menos que
, onde a função não está definida). Então, a desigualdade depende somente do numerador:
Portanto,
quando
, exceto nos pontos onde a função não está definida (
e
).
Resposta
As raízes da função são
e
. O intercepto com o eixo y é
. As assíntotas verticais estão em
e
, e a assíntota horizontal é
. A derivada
é maior ou igual a zero para todos os
, exceto nos pontos
e
onde a função não está definida.
Exercícios relacionados
Calcule, usando a definição, a derivada da função
. Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
f)
f)
Calcule, usando a definição e também usando as regras para conferir, a derivada da função
. Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Suponha que
, encontre os valores de: