Calcule, usando a definição, as derivadas das seguintes funções nos pontos indicados: em ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicar a definição para encontrar a taxa de variação da função naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite do quociente da variação da função pela variação de quando se aproxima de zero.

Passo 3

Aplicando a função na definição, temos:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar . Sabemos que:
Substituindo na nossa expressão:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Vamos separar as frações:
Agora, precisamos calcular esses dois limites individualmente.

Passo 7

Sabemos que:
E também:

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

A derivada da função no ponto é:

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Calcule, usando a definição, as derivadas das seguintes funções nos pontos indicados: , em .
Determine o domínio das seguintes funções:
k)
Use as regras de derivação para calcular as derivadas das seguintes funções: ,
Determine o domínio das seguintes funções:
r)