Calcule, usando a definição, as derivadas das seguintes funções nos pontos indicados:
em
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicar a definição para encontrar a taxa de variação da função naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite do quociente da variação da função pela variação de
quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Aplicando a função
na definição, temos:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar o limite.
Passo 4
Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar
. Sabemos que:
Substituindo na nossa expressão:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Vamos separar as frações:
Agora, precisamos calcular esses dois limites individualmente.
Passo 7
Sabemos que:
E também:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é:
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Calcule, usando a definição, as derivadas das seguintes funções nos pontos indicados:
, em
.
Determine o domínio das seguintes funções:
k)
k)
Use as regras de derivação para calcular as derivadas das seguintes funções:
,
Determine o domínio das seguintes funções:
r)
r)