Calcule, usando a definição,
, onde
. Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de
no ponto
usando a definição de derivada. Depois, vamos achar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como a derivada nos dá a inclinação da reta tangente e como usar essa inclinação para achar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de
em
é:
Isso significa que para encontrar
, vamos substituir
por 1 na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
. Sabemos que
, então:
E:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da derivada, temos:
Para resolver esse limite, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para simplificar. O conjugado de
é
. Então:
Passo 5
Simplificando o numerador usando a identidade
:
Então, agora temos:
Passo 6
Agora, podemos substituir
diretamente no limite, já que não teremos mais indeterminação:
Passo 7
Com a derivada
, sabemos que a inclinação da reta tangente no ponto
é
. Agora, vamos usar a fórmula da reta tangente, que é:
Onde
é a inclinação e
é o ponto de tangência.
Passo 8
Substituindo os valores:
Se preferir, podemos deixar a equação na forma
:
Resposta
A derivada
e a equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Encontre, se possível, pelo menos dois valores que podem ser assumidos pelo limite:
, para isso, escolha diferentes funções
.
Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
a)
a)
Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
b)
b)