Calcule, usando a definição, f'(1), onde f(x) = raiz(3x + 1). Encontre a equação da reta tangente à curva y = raiz(3 x + 1) no ponto 1,2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de no ponto usando a definição de derivada. Depois, vamos achar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos precisar entender como a derivada nos dá a inclinação da reta tangente e como usar essa inclinação para achar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de em é:
Isso significa que para encontrar , vamos substituir por 1 na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular e . Sabemos que , então:
E:

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da derivada, temos:
Para resolver esse limite, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para simplificar. O conjugado de é . Então:

Passo 5

Simplificando o numerador usando a identidade :
Então, agora temos:

Passo 6

Agora, podemos substituir diretamente no limite, já que não teremos mais indeterminação:

Passo 7

Com a derivada , sabemos que a inclinação da reta tangente no ponto é . Agora, vamos usar a fórmula da reta tangente, que é:
Onde é a inclinação e é o ponto de tangência.

Passo 8

Substituindo os valores:
Se preferir, podemos deixar a equação na forma :

Resposta

A derivada e a equação da reta tangente à curva no ponto é .

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