Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). .
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando a eliminação de Gauss-Jordan. Primeiro, o enunciado nos deu a matriz:
Aqui, é a unidade imaginária, onde . Para encontrar a inversa dessa matriz, vamos precisar entender como a eliminação de Gauss-Jordan funciona, que é um método para resolver sistemas de equações lineares e encontrar inversas de matrizes.
Passo 2
Para encontrar a inversa de uma matriz usando Gauss-Jordan, a gente começa criando uma matriz aumentada, que é a matriz original ao lado da matriz identidade. A matriz identidade para uma matriz é:
Então, nossa matriz aumentada fica:
Passo 3
Agora, o objetivo é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada (a matriz original) na matriz identidade através de operações de linha. As operações que podemos usar são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um escalar (um número diferente de zero).
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Vamos começar normalizando o primeiro elemento (no caso, o 2).
Passo 4
Dividimos a primeira linha por 2 para que o primeiro elemento seja 1:
Passo 5
Agora, queremos zerar o elemento abaixo do 1 que já está na posição (1,1). Para isso, adicionamos vezes a primeira linha à segunda linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos normalizar o elemento (2,2), que é , multiplicando a segunda linha por 2:
Passo 7
Em seguida, queremos zerar o elemento acima do 1 na segunda coluna. Para isso, subtraímos vezes a segunda linha da primeira linha: