Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). (i=raiz-1).
(b) (cc2 & i -i & 1)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando a eliminação de Gauss-Jordan. Primeiro, o enunciado nos deu a matriz:
2 & i -i & 1
Aqui, é a unidade imaginária, onde . Para encontrar a inversa dessa matriz, vamos precisar entender como a eliminação de Gauss-Jordan funciona, que é um método para resolver sistemas de equações lineares e encontrar inversas de matrizes.

Passo 2

Para encontrar a inversa de uma matriz usando Gauss-Jordan, a gente começa criando uma matriz aumentada, que é a matriz original ao lado da matriz identidade. A matriz identidade para uma matriz I = 1 & 0 0 & 1 é:
[ cc|cc 2 & i & 1 & 0 -i & 1 & 0 & 1 ]
Então, nossa matriz aumentada fica:

Passo 3

Agora, o objetivo é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada (a matriz original) na matriz identidade através de operações de linha. As operações que podemos usar são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar (um número diferente de zero).
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Vamos começar normalizando o primeiro elemento (no caso, o 2).

Passo 4

Dividimos a primeira linha por 2 para que o primeiro elemento seja 1:
[ cc|cc 1 & i2 & 12 & 0 -i & 1 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, queremos zerar o elemento abaixo do 1 que já está na posição (1,1). Para isso, adicionamos Linha 2 = Linha 2 + i times Linha 1 vezes a primeira linha à segunda linha:
-i + i times 1 &= -i + i = 0 1 + i times i2 &= 1 + i^22 = 1 + -12 = 12 0 + i times 12 &= i2 1 + i times 0 &= 1
Calculando:
[ cc|cc 1 & i2 & 12 & 0 0 & 12 & i2 & 1 ]
Então, a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos normalizar o elemento (2,2), que é [ cc|cc 1 & i2 & 12 & 0 0 & 1 & i & 2 ] , multiplicando a segunda linha por 2:

Passo 7

Em seguida, queremos zerar o elemento acima do 1 na segunda coluna. Para isso, subtraímos Linha 1 = Linha 1 - i2 times Linha 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
1 - i2 times 0 &= 1 i2 - i2 times 1 &= i2 - i2 = 0 12 - i2 times i &= 12 - i^22 = 12 - -12 = 1 0 - i2 times 2 &= 0 - i = -i
Calculando:
[ cc|cc 1 & 0 & 1 & -i 0 & 1 & i & 2 ]
Então, a matriz fica:

Resposta

A inversa da matriz é:
1 & -i i & 2

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