Escreva a equação da hipérbole em cada um dos casos abaixo:
(b) Focos F1=(0,2), F2=(0,-2) e a=1.

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido: precisamos escrever a equação da hipérbole sabendo que os focos são e , e que . Para isso, vamos usar os conceitos básicos de hipérbole, como a posição dos focos, o valor de e as relações entre os elementos da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. Os focos estão em e , então o centro fica no ponto médio entre eles. A média das coordenadas é , ou seja, o centro está na origem.

Passo 3

A hipérbole pode ser orientada vertical ou horizontalmente. Aqui, como os focos estão alinhados no eixo y^2a^2 - x^2b^2 = 1 , a hipérbole é vertical. A equação geral de uma hipérbole vertical centrada na origem é:

Passo 4

Sabemos que c^2 = a^2 + b^2 . Agora, precisamos encontrar o valor de 2^2 = 1^2 + b^2 4 = 1 + b^2 b^2 = 3 . A distância entre os focos é . Neste caso, a distância entre e é 4, então .
A relação entre , e para uma hipérbole é:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 5

Agora, substituímos y^21 - x^23 = 1 e na equação da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^21 - x^23 = 1

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