Escreva a equação da hipérbole em cada um dos casos abaixo:
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido: precisamos escrever a equação da hipérbole sabendo que os focos são
e
, e que
. Para isso, vamos usar os conceitos básicos de hipérbole, como a posição dos focos, o valor de
e as relações entre os elementos da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. Os focos estão em
e
, então o centro fica no ponto médio entre eles. A média das coordenadas é
, ou seja, o centro está na origem.
Passo 3
A hipérbole pode ser orientada vertical ou horizontalmente. Aqui, como os focos estão alinhados no eixo
, a hipérbole é vertical. A equação geral de uma hipérbole vertical centrada na origem é:
Passo 4
Sabemos que
. Agora, precisamos encontrar o valor de
. A distância entre os focos é
. Neste caso, a distância entre
e
é 4, então
.
A relação entre
,
e
para uma hipérbole é:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é: