Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). (i=raiz-1).
(c) (cccos theta & -sin theta sin theta & cos theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a inversa da matriz dada usando a eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar montar uma matriz aumentada e aplicar as operações de linha para chegar à matriz identidade e, assim, encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original e adicionar a matriz identidade ao lado dela para formar a matriz aumentada. Nossa matriz original é:
cos theta & -sin theta sin theta & cos theta
Então, a matriz aumentada fica assim:
cos theta & -sin theta & | & 1 & 0 sin theta & cos theta & | & 0 & 1

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada na matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar pela primeira linha. Queremos que o primeiro elemento seja 1, então dividimos a primeira linha por 1 & -tan theta & | & 1cos theta & 0 sin theta & cos theta & | & 0 & 1 :
Aqui, usamos a identidade .

Passo 4

Em seguida, vamos zerar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, substituímos a segunda linha pela segunda linha menos 1 & -tan theta & | & 1cos theta & 0 0 & cos theta + sin^2 theta / cos theta & | & -sin thetacos theta & 1 vezes a primeira linha:
cos theta + sin^2 thetacos theta = cos^2 theta + sin^2 thetacos theta = 1cos theta
Simplificando o segundo elemento da segunda linha:
1 & -tan theta & | & 1cos theta & 0 0 & 1cos theta & | & -sin thetacos theta & 1
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar a segunda linha por 1 & -tan theta & | & 1cos theta & 0 0 & 1 & | & -sin theta & cos theta para deixar o segundo pivô igual a 1:

Passo 6

Por fim, vamos eliminar o 1 & 0 & | & 1cos theta + tan theta (-sin theta) & 0 + tan theta cos theta 0 & 1 & | & -sin theta & cos theta na primeira linha. Para isso, adicionamos 1cos theta - sin^2 thetacos theta = 1 - sin^2 thetacos theta = cos^2 thetacos theta = cos theta vezes a segunda linha à primeira linha:
tan theta cos theta = sin thetacos theta cos theta = sin theta
Simplificando os termos:
1 & 0 & | & cos theta & sin theta 0 & 1 & | & -sin theta & cos theta
E:
Então, a matriz fica:

Resposta

A inversa da matriz é:
cos theta & sin theta -sin theta & cos theta

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