Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a inversa da matriz dada usando a eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar montar uma matriz aumentada e aplicar as operações de linha para chegar à matriz identidade e, assim, encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original e adicionar a matriz identidade ao lado dela para formar a matriz aumentada. Nossa matriz original é:
Então, a matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada na matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar pela primeira linha. Queremos que o primeiro elemento seja 1, então dividimos a primeira linha por :
Aqui, usamos a identidade .

Passo 4

Em seguida, vamos zerar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, substituímos a segunda linha pela segunda linha menos vezes a primeira linha:
Simplificando o segundo elemento da segunda linha:
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar a segunda linha por para deixar o segundo pivô igual a 1:

Passo 6

Por fim, vamos eliminar o na primeira linha. Para isso, adicionamos vezes a segunda linha à primeira linha:
Simplificando os termos:
E:
Então, a matriz fica:

Resposta

A inversa da matriz é:

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Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). .
Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.
Escreva a equação da hipérbole em cada um dos casos abaixo:
(b) e .
Determine o todos os valores de e para que seja:
(01): singular.