Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a inversa da matriz dada usando a eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar montar uma matriz aumentada e aplicar as operações de linha para chegar à matriz identidade e, assim, encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original e adicionar a matriz identidade ao lado dela para formar a matriz aumentada. Nossa matriz original é:
Então, a matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada na matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar pela primeira linha. Queremos que o primeiro elemento seja 1, então dividimos a primeira linha por :
Aqui, usamos a identidade .
Passo 4
Em seguida, vamos zerar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, substituímos a segunda linha pela segunda linha menos vezes a primeira linha:
Simplificando o segundo elemento da segunda linha:
Então, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar a segunda linha por para deixar o segundo pivô igual a 1:
Passo 6
Por fim, vamos eliminar o na primeira linha. Para isso, adicionamos vezes a segunda linha à primeira linha: