Determine qual(is) das matrizes a seguir é(são): (i): simétrica, (ii): singular; (iii): estritamente diagonal dominante; (iv): definida positiva.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem 4 e precisamos verificar se ela é:
  1. Simétrica: Uma matriz é simétrica se for igual à sua transposta.
  2. Singular: Uma matriz é singular se seu determinante for zero.
  3. Estritamente diagonal dominante: Uma matriz é estritamente diagonal dominante se, para cada linha, o valor absoluto do elemento na diagonal for maior que a soma dos valores absolutos dos demais elementos dessa linha.
  4. Definida positiva: Uma matriz é definida positiva se todos os seus autovalores forem positivos.
Para resolver isso, vamos analisar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Verificando se a matriz é simétrica:
Uma matriz é simétrica se , ou seja, se os elementos acima da diagonal são iguais aos correspondentes abaixo da diagonal.
Vamos calcular a transposta de :
Agora, comparamos com :
Observamos que:
  • e → não são iguais.
  • e → não são iguais.
  • E assim por diante para outros elementos.
Como nem todos os elementos são iguais aos seus correspondentes na transposta, a matriz não é simétrica.

Passo 3

Verificando se a matriz é singular:
Uma matriz é singular se seu determinante for igual a zero. Vamos calcular o determinante de .
é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Como o determinante de é 28, que é diferente de zero, a matriz não é singular.

Passo 4

Verificando se a matriz é estritamente diagonal dominante:
Para cada linha, comparamos o valor absoluto do elemento na diagonal com a soma dos valores absolutos dos outros elementos dessa linha.
Vamos analisar cada linha de :
  1. Primeira linha: Elemento na diagonal: . Soma dos outros elementos: . Como , está ok.
  2. Segunda linha: Elemento na diagonal: . Soma dos outros elementos: . Como , está ok.
  3. Terceira linha: Elemento na diagonal: . Soma dos outros elementos: . Aqui, , o que não satisfaz a condição.
  4. Quarta linha: Elemento na diagonal: . Soma dos outros elementos: . Aqui, , também não satisfaz.
Como nem todas as linhas atendem à condição de estritamente diagonal dominante, a matriz não é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Verificando se a matriz é definida positiva:
Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores forem positivos. Porém, já vimos no Passo 2 que não é simétrica. Para matrizes não simétricas, o conceito de definida positiva não se aplica da mesma forma, ou seja, geralmente consideramos apenas matrizes simétricas para essa propriedade.
Portanto, podemos concluir que a matriz não é definida positiva.

Resposta

A matriz não é simétrica, não é singular, não é estritamente diagonal dominante e não é definida positiva.

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