Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). (i=raiz-1).
(d) (ccc1 & 0 & -1 1 & 4 & 1 -2 & 0 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a inversa de uma matriz usando a eliminação de Gauss-Jordan. A matriz que temos é:
1 & 0 & -1 1 & 4 & 1 -2 & 0 & 1
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz inversa e como a eliminação de Gauss-Jordan funciona. A matriz inversa só existe se a matriz original for não singular, ou seja, se seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada, que combina a matriz original com a matriz identidade. A ideia é transformar a matriz original em matriz identidade usando operações de linha, e essas mesmas operações transformarão a matriz identidade na inversa.
A matriz aumentada fica assim:
[ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora, vamos aplicar as operações de linha para transformar a parte esquerda da matriz aumentada na identidade. Vamos seguir passo a passo:
  1. Primeiro Pivo (linha 1, coluna 1 já é 1):
    Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivo.
    • L2 = L2 - L1:
      1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
    • L3 = L3 + 2 * L1:
      1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 1
  2. Segundo Pivo (linha 2, coluna 2):
    O pivo já é 4. Vamos torná-lo 1 dividindo toda a linha 2 por 4.
    • L2 = L2 / 4:
      1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0.25 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 1
    Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse pivo.
    • L1 = L1 - 0 * L2: (Nenhuma mudança)
    • L3 = L3 - 0 * L2: (Nenhuma mudança)
  3. Terceiro Pivo (linha 3, coluna 3):
    O pivo é -1. Vamos torná-lo 1 multiplicando a linha 3 por -1.
    • L3 = L3 * (-1):
      1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0.25 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1
    Agora, vamos zerar os elementos acima desse pivo.
    • L1 = L1 + 1 * L3:
      1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0.25 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1
    • L2 = L2 - 0.5 * L3:
      1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 0.75 & 0.25 & 0.5 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1

Resposta

A matriz inversa é:
-1 & 0 & -1 0.75 & 0.25 & 0.5 -2 & 0 & -1

Exercícios relacionados