Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir).
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a inversa de uma matriz usando a eliminação de Gauss-Jordan. A matriz que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz inversa e como a eliminação de Gauss-Jordan funciona. A matriz inversa só existe se a matriz original for não singular, ou seja, se seu determinante for diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada, que combina a matriz original com a matriz identidade. A ideia é transformar a matriz original em matriz identidade usando operações de linha, e essas mesmas operações transformarão a matriz identidade na inversa.
A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as operações de linha para transformar a parte esquerda da matriz aumentada na identidade. Vamos seguir passo a passo:
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Primeiro Pivo (linha 1, coluna 1 já é 1):Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivo.
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L2 = L2 - L1:
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 -
L3 = L3 + 2 * L1:
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 1
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Segundo Pivo (linha 2, coluna 2):O pivo já é 4. Vamos torná-lo 1 dividindo toda a linha 2 por 4.
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L2 = L2 / 4:
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0.25 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 1
Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse pivo.- L1 = L1 - 0 * L2: (Nenhuma mudança)
- L3 = L3 - 0 * L2: (Nenhuma mudança)
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Terceiro Pivo (linha 3, coluna 3):O pivo é -1. Vamos torná-lo 1 multiplicando a linha 3 por -1.
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L3 = L3 * (-1):
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0.25 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1
Agora, vamos zerar os elementos acima desse pivo.-
L1 = L1 + 1 * L3:
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0.25 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1 -
L2 = L2 - 0.5 * L3:
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 0.75 & 0.25 & 0.5 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1
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Resposta
A matriz inversa é: