Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor expressões racionais em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. Isso ajuda a simplificar a expressão e facilita a decomposição em frações parciais.
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Como o denominador é , que possui fatores lineares, podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Para encontrar os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesma potência:
Resolvendо o sistema:
De , temos .
De , substituímos :
De , temos .
Passo 5
Agora que encontramos 1x^2(x - 4) = -116 cdot 1x - 14 cdot 1x^2 + 116 cdot 1x - 4 , integral 1x^3-4 x^2 dx = -116 integral 1x dx - 14 integral 1x^2 dx + 116 integral 1x - 4 dx e -116 ln|x| + 14 cdot 1x + 116 ln|x - 4| + C , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Onde é a constante de integração.
Resposta
A integral de -116 ln|x| + 14x + 116 ln|x - 4| + C em relação a é: