Calcule usando frações parciais.
f) integral 1x^3-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor expressões racionais em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. Isso ajuda a simplificar a expressão e facilita a decomposição em frações parciais.
x^3 - 4x^2 = x^2(x - 4)
Então, a fração fica:
1x^3-4 x^2 = 1x^2(x - 4)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Como o denominador é 1x^2(x - 4) = Ax + Bx^2 + Cx - 4 , que possui fatores lineares, podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A cdot x(x - 4) + B cdot (x - 4) + C cdot x^2 , 1 = A x^2 - 4A x + B x - 4B + C x^2 e 1 = (A + C) x^2 + (-4A + B) x - 4B , vamos multiplicar ambos os lados da equação por A + C = 0 -4A + B = 0 -4B = 1 para eliminar os denominadores:
-4A - 14 = 0 Rightarrow -4A = 14 Rightarrow A = -116
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesma potência:
Resolvendо o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , substituímos :
  1. De , temos .

Passo 5

Agora que encontramos 1x^2(x - 4) = -116 cdot 1x - 14 cdot 1x^2 + 116 cdot 1x - 4 , integral 1x^3-4 x^2 dx = -116 integral 1x dx - 14 integral 1x^2 dx + 116 integral 1x - 4 dx e -116 ln|x| + 14 cdot 1x + 116 ln|x - 4| + C , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de -116 ln|x| + 14x + 116 ln|x - 4| + C em relação a é:

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