Calcule (usando integração por partes)
integral x^4 e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes até simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = x^4 Rightarrow du = 4x^3 , dx e dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x . Vamos escolher:

Passo 3

Aplicando a fórmula:
integral x^4 e^2x , dx = u cdot v - integral v cdot du = x^4 cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 4x^3 , dx
Simplificando:
= 12 x^4 e^2x - 2 integral x^3 e^2x , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 , dx . Vamos aplicar integração por partes novamente:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x

Passo 5

Aplicando a fórmula novamente:
integral x^3 e^2x , dx = x^3 cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 3x^2 , dx
Simplificando:
= 12 x^3 e^2x - 32 integral x^2 e^2x , dx

Passo 6

Substituindo de volta na equação anterior:
integral x^4 e^2x , dx = 12 x^4 e^2x - 2 ( 12 x^3 e^2x - 32 integral x^2 e^2x , dx )
Simplificando:
= 12 x^4 e^2x - x^3 e^2x + 3 integral x^2 e^2x , dx

Passo 7

Agora, vamos resolver u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx com integração por partes:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x

Passo 8

Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^2x , dx = x^2 cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 2x , dx
Simplificando:
= 12 x^2 e^2x - integral x e^2x , dx

Passo 9

Substituindo de volta:
integral x^4 e^2x , dx = 12 x^4 e^2x - x^3 e^2x + 3 ( 12 x^2 e^2x - integral x e^2x , dx )
Simplificando:
= 12 x^4 e^2x - x^3 e^2x + 32 x^2 e^2x - 3 integral x e^2x , dx

Passo 10

Agora, vamos resolver u = x Rightarrow du = dx usando integração por partes:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x

Passo 11

Aplicando a fórmula:
integral x e^2x , dx = x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 1 , dx
Simplificando:
= 12 x e^2x - 12 integral e^2x , dx
Calculando a última integral:
integral e^2x , dx = 12 e^2x
Então:
= 12 x e^2x - 14 e^2x

Passo 12

Substituindo de volta na equação anterior:
integral x^4 e^2x , dx = 12 x^4 e^2x - x^3 e^2x + 32 x^2 e^2x - 3 ( 12 x e^2x - 14 e^2x )
Simplificando:
= 12 x^4 e^2x - x^3 e^2x + 32 x^2 e^2x - 32 x e^2x + 34 e^2x + C

Resposta

Assim, a integral 12 x^4 e^2x - x^3 e^2x + 32 x^2 e^2x - 32 x e^2x + 34 e^2x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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