Calcule (usando integração por partes)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes até simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Vamos escolher:

Passo 3

Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver . Vamos aplicar integração por partes novamente:

Passo 5

Aplicando a fórmula novamente:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo de volta na equação anterior:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver com integração por partes:

Passo 8

Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 9

Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos resolver usando integração por partes:

Passo 11

Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Calculando a última integral:
Então:

Passo 12

Substituindo de volta na equação anterior:
Simplificando:

Resposta

Assim, a integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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