Expresse cada integral tripla em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida: (b) integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z d z d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z , dz , dy , dx
O objetivo é expressar essa integral em coordenadas esféricas e calcular o valor final. Para isso, precisamos conhecer as coordenadas esféricas e como converter uma integral tridimensional delas.

Passo 2

Vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por x = rho sin phi cos theta , onde:
  • y = rho sin phi sin theta é a distância do ponto até a origem.
  • z = rho cos phi é o ângulo entre o vetor dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta e o eixo .
  • é o ângulo no plano a partir do eixo .
As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração na integral original. A integral está definida para 0 <= rho <= 3 de 0 a 3, 0 <= phi <= pi2 de 0 a 0 <= theta <= pi2 e de 0 a . Isso descreve o primeiro octante de uma esfera com raio 3.
Em coordenadas esféricas, isso corresponde a:

Passo 4

Vamos substituir x = rho sin phi cos theta e z = rho cos phi em termos de x z = rho sin phi cos theta cdot rho cos phi = rho^2 sin phi cos theta cos phi , e :
Então, o produto fica:

Passo 5

Substituindo tudo na integral em coordenadas esféricas, temos:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^2 sin phi cos theta cos phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^4 sin^2 phi cos theta cos phi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos separar a integral em partes que dependem de cada variável:
( integral0^3 rho^4 , drho ) ( integral0^pi2 sin^2 phi cos phi , dphi ) ( integral0^pi2 cos theta , dtheta )
Calculando cada parte:
  1. Integral em integral0^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^3 = 2435 :
integral0^pi2 sin^2 phi cos phi , dphi
  1. Integral em integral0^1 u^2 , du = [ u^33 ]0^1 = 13 :
integral0^pi2 cos theta , dtheta = [ sin theta ]0^pi2 = 1 - 0 = 1
Fazendo a substituição , :
  1. Integral em :

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
2435 times 13 times 1 = 24315 = 815 = 16.2

Resposta

O valor da integral tripla em coordenadas esféricas é .

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