Expresse cada integral tripla em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida: (b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla:
O objetivo é expressar essa integral em coordenadas esféricas e calcular o valor final. Para isso, precisamos conhecer as coordenadas esféricas e como converter uma integral tridimensional delas.
Passo 2
Vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo entre o vetor e o eixo . -
é o ângulo no plano a partir do eixo .
As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração na integral original. A integral está definida para
de 0 a 3,
de 0 a
e
de 0 a
. Isso descreve o primeiro octante de uma esfera com raio 3.
Em coordenadas esféricas, isso corresponde a:
Passo 4
Vamos substituir
e
em termos de
,
e
:
Então, o produto
fica:
Passo 5
Substituindo tudo na integral em coordenadas esféricas, temos:
Simplificando, a integral fica:
Passo 6
Vamos separar a integral em partes que dependem de cada variável:
Calculando cada parte:
- Integral em
:
- Integral em
:
Fazendo a substituição
,
:
- Integral em
:
Passo 7
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral tripla em coordenadas esféricas é
.