Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as integral duplaR(1raizx^2+y^2) d x d y ; R=(x-a)^2+y^2 <= a^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que transformar a integral dupla
integral duplaR(1raizx^2+y^2) , dx , dy
para coordenadas polares e calcular o seu valor. A região é definida por , que representa um círculo com centro em e raio . Para resolver isso, vamos precisar usar a transformação para coordenadas polares e algumas propriedades das integrais nessa nova coordenada.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r costheta y = r sintheta dx , dy = r , dr , dtheta
Além disso, integral duplaR 1r cdot r , dr , dtheta = integral duplaR 1 , dr , dtheta . Então, a integral original fica:

Passo 3

Agora, precisamos descrever a região (r costheta - a)^2 + (r sintheta)^2 <= a^2 em coordenadas polares. A equação r^2 cos^2theta - 2 a r costheta + a^2 + r^2 sin^2theta <= a^2 descreve um círculo com centro em r^2 (cos^2theta + sin^2theta) - 2 a r costheta <= 0 e raio r^2 - 2 a r costheta <= 0 . Em coordenadas polares, isso se torna:
r (r - 2 a costheta) <= 0
Expandindo e simplificando:
Como , isso implica que . Além disso, para , ou seja, .

Passo 4

Com isso, podemos reescrever a integral em coordenadas polares com os limites apropriados:
integral-pi2^pi2 integral0^2 a costheta 1 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral0^2 a costheta 1 , dr = 2 a costheta :
integral-pi2^pi2 2 a costheta , dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a 2 a integral-pi2^pi2 costheta , dtheta :
2 a [ sintheta ]-pi2^pi2 = 2 a ( sinpi2 - sin(-pi2) )
A integral de 2 a ( 1 - (-1) ) = 2 a (2) = 4 a é , então:

Resposta

O valor da integral é .

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