Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que transformar a integral dupla
para coordenadas polares e calcular o seu valor. A região
é definida por
, que representa um círculo com centro em
e raio
. Para resolver isso, vamos precisar usar a transformação para coordenadas polares e algumas propriedades das integrais nessa nova coordenada.
Passo 2
Vamos começar fazendo a substituição para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Além disso,
. Então, a integral original fica:
Passo 3
Agora, precisamos descrever a região
em coordenadas polares. A equação
descreve um círculo com centro em
e raio
. Em coordenadas polares, isso se torna:
Expandindo e simplificando:
Como
, isso implica que
. Além disso, para
, ou seja,
.
Passo 4
Com isso, podemos reescrever a integral em coordenadas polares com os limites apropriados:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
A integral de
é
, então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:
Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
(1.9) e
(1.9)
Utilizando integral de seções planas paralelas, mostre que o volume do cone circular reto, de altura
e raio da base
, é igual a
.
Calcule, usando integral dupla, o volume: do sólido limitado pela superfície
, os planos
e
e os três planos coordenados.