Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que transformar a integral dupla
para coordenadas polares e calcular o seu valor. A região é definida por , que representa um círculo com centro em e raio . Para resolver isso, vamos precisar usar a transformação para coordenadas polares e algumas propriedades das integrais nessa nova coordenada.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Além disso, . Então, a integral original fica:

Passo 3

Agora, precisamos descrever a região em coordenadas polares. A equação descreve um círculo com centro em e raio . Em coordenadas polares, isso se torna:
Expandindo e simplificando:
Como , isso implica que . Além disso, para , ou seja, .

Passo 4

Com isso, podemos reescrever a integral em coordenadas polares com os limites apropriados:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
A integral de é , então:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:
Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
(1.9) e
Utilizando integral de seções planas paralelas, mostre que o volume do cone circular reto, de altura e raio da base , é igual a .
Calcule, usando integral dupla, o volume: do sólido limitado pela superfície , os planos e e os três planos coordenados.