Utilizando integral de seções planas paralelas, mostre que o volume do cone circular reto, de altura
e raio da base
, é igual a
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um cone circular reto usando integrais. O cone tem altura
e raio da base
. A gente vai usar o método das seções planas paralelas, que basicamente corta o cone em fatias paralelas à base e soma o volume dessas fatias.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que estamos cortando o cone em fatias horizontais, cada uma com uma espessura infinitesimal
. Cada fatia vai ser um círculo, e precisamos descobrir o raio desse círculo em função da altura
desde o vértice do cone.
Passo 3
Sabemos que no topo do cone (no vértice), o raio é 0, e na base, na altura
, o raio é
. Então, o raio
de uma fatia a uma altura
vai aumentar proporcionalmente. Isso dá a relação:
Isso significa que o raio cresce linearmente com a altura.
Passo 4
Agora, a área da seção transversal em uma altura
é a área de um círculo com raio
:
Então, a área depende de
.
Passo 5
Para encontrar o volume total do cone, a gente integra a área das fatias desde a base (
) até o vértice (
):
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
O volume do cone é igual a
.