Utilizando integral de seções planas paralelas, mostre que o volume do cone circular reto, de altura h e raio da base r, é igual a pi * r^2 * h / 3.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um cone circular reto usando integrais. O cone tem altura e raio da base . A gente vai usar o método das seções planas paralelas, que basicamente corta o cone em fatias paralelas à base e soma o volume dessas fatias.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que estamos cortando o cone em fatias horizontais, cada uma com uma espessura infinitesimal . Cada fatia vai ser um círculo, e precisamos descobrir o raio desse círculo em função da altura desde o vértice do cone.

Passo 3

Sabemos que no topo do cone (no vértice), o raio é 0, e na base, na altura , o raio é . Então, o raio de uma fatia a uma altura vai aumentar proporcionalmente. Isso dá a relação:
Isso significa que o raio cresce linearmente com a altura.

Passo 4

Agora, a área da seção transversal em uma altura é a área de um círculo com raio :
Então, a área depende de .

Passo 5

Para encontrar o volume total do cone, a gente integra a área das fatias desde a base ( ) até o vértice ( ):

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

O volume do cone é igual a .

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