Um mapa de um pequeno parque municipal é um quadriculado limitado pelas retas x = 0, x = 4, y = 0 e y = 3, no qual as distâncias estão em quilômetros. A altitude de cada ponto (x, y) do parque em relação ao nível do mar é dada por E(x, y) = 90(2x + y^2) metros. Determine a altitude média do parque.

Passo 1

Então, vamos nessa! A gente tem um parque municipal que é como um retângulo no mapa, limitado pelas retas , , e (as distâncias estão em quilômetros). A altitude de cada ponto nesse parque é dada pela função metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a altitude média desse parque. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais duplas, que nos ajudam a calcular médias sobre áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área do parque. Como ele é um retângulo com lados de 4 km (de a ) e 3 km (de a ), a área é simplesmente largura vezes altura:

Passo 3

Agora, para encontrar a altitude média, precisamos integrar a função sobre toda a área do parque e depois dividir pelo tamanho dessa área. Isso usa o conceito de integral duplo, que acumula valores de uma função em uma região bidimensional.
A integral dupla da função sobre o parque é:

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integremos em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 6

Finalmente, para achar a altitude média , dividimos a integral pelo tamanho da área:

Resposta

A altitude média do parque é de 630 metros.

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