Um mapa de um pequeno parque municipal é um quadriculado limitado pelas retas e , no qual as distâncias estão em quilômetros. A altitude de cada ponto do parque em relação ao nível do mar é dada por metros. Determine a altitude média do parque.
Passo 1
Então, vamos nessa! A gente tem um parque municipal que é como um retângulo no mapa, limitado pelas retas , , e (as distâncias estão em quilômetros). A altitude de cada ponto nesse parque é dada pela função metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a altitude média desse parque. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais duplas, que nos ajudam a calcular médias sobre áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área do parque. Como ele é um retângulo com lados de 4 km (de a ) e 3 km (de a ), a área é simplesmente largura vezes altura:
Passo 3
Agora, para encontrar a altitude média, precisamos integrar a função sobre toda a área do parque e depois dividir pelo tamanho dessa área. Isso usa o conceito de integral duplo, que acumula valores de uma função em uma região bidimensional.
A integral dupla da função sobre o parque é:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integremos em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 6
Finalmente, para achar a altitude média , dividimos a integral pelo tamanho da área: