Calcule, usando o método de frações parciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de usando o método de frações parciais. Isso envolve decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como as frações parciais funcionam e aplicar algumas regras básicas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração em termos de frações parciais. Dado que o denominador é um fator repetido, a decomposição será da forma:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Isso simplifica a equação e facilita a resolução para e .

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 5

Igualando os coeficientes:
  • Para o termo com :
  • Para o termo constante:
Já sabemos que , então substituímos na segunda equação:

Passo 6

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é uma integral logarítmica, e a segunda é uma potência de .

Passo 8

Calculando as integrais:
Aqui, e são constantes de integração que podemos combinar em uma única constante .

Resposta

Portanto, a integral calculada é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Nos problemas que seguem, calcule .
Encontre o domínio das funções abaixo.
(UFPA) A altura de um tetraedro regular é . O apótema do tetraedro mede:
a) 4 cm
b)
c)
d) 6 cm
e)
Resolva as seguintes EDO