Calcule, usando o método de frações parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
usando o método de frações parciais. Isso envolve decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como as frações parciais funcionam e aplicar algumas regras básicas de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração
em termos de frações parciais. Dado que o denominador
é um fator repetido, a decomposição será da forma:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por
:
Isso simplifica a equação e facilita a resolução para
e
.
Passo 4
Vamos expandir e agrupar os termos:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.
Passo 5
Igualando os coeficientes:
-
Para o termo com
: -
Para o termo constante:
Já sabemos que
, então substituímos na segunda equação:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é uma integral logarítmica, e a segunda é uma potência de
.
Passo 8
Calculando as integrais:
Aqui,
e
são constantes de integração que podemos combinar em uma única constante
.
Resposta
Portanto, a integral calculada é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos problemas que seguem, calcule
.
Encontre o domínio das funções abaixo.
(UFPA) A altura de um tetraedro regular é
. O apótema do tetraedro mede:
a) 4 cm
b)
c)
d) 6 cm
e)
a) 4 cm
b)
c)
d) 6 cm
e)
Resolva as seguintes EDO