Calcule, usando o método de frações parciais
integral x+1(x-2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de usando o método de frações parciais. Isso envolve decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como as frações parciais funcionam e aplicar algumas regras básicas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração x + 1(x - 2)^2 = Ax - 2 + B(x - 2)^2 em termos de frações parciais. Dado que o denominador é um fator repetido, a decomposição será da forma:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por x + 1 = A(x - 2) + B :
Isso simplifica a equação e facilita a resolução para e .

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos:
x + 1 = A x - 2A + B
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 5

Igualando os coeficientes:
  • Para o termo com 1 = A :
    1 = -2A + B
  • Para o termo constante:
    1 = -2(1) + B implies 1 = -2 + B implies B = 3
Já sabemos que , então substituímos na segunda equação:

Passo 6

Agora que encontramos x + 1(x - 2)^2 = 1x - 2 + 3(x - 2)^2 e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x - 2 , dx + integral 3(x - 2)^2 , dx
A primeira integral é uma integral logarítmica, e a segunda é uma potência de .

Passo 8

Calculando as integrais:
Aqui, e são constantes de integração que podemos combinar em uma única constante .

Resposta

Portanto, a integral calculada é:
integral x + 1(x - 2)^2 , dx = ln|x - 2| - 3x - 2 + C
Onde é a constante de integração.

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