(UFPA) A altura de um tetraedro regular é 4 * raiz(2) cm. O apótema do tetraedro mede:
a) 4 cm
b) 3 * raiz(2) cm
c) 4 raiz(3) cm
d) 6 cm
e) 6 raiz(2) cm

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos um tetraedro regular, que é uma pirâmide com quatro faces triangulares iguais. A altura desse tetraedro é de 4 * raiz(2) cm. Nosso objetivo é encontrar o apótema desse tetraedro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial relacionados a tetraedros regulares.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a altura de um tetraedro. A altura é a distância perpendicular do vértice superior até a base do tetraedro. Já o apótema em um tetraedro regular é a altura de uma das faces triangulares, ou seja, a distância do centro de uma face até um vértice dessa face.

Passo 3

Em um tetraedro regular, todas as arestas têm o mesmo comprimento. Vamos chamar o comprimento de cada aresta de a. A altura do tetraedro ( H) e o apótema ( h) estão relacionados ao comprimento da aresta.

Passo 4

A relação entre a altura do tetraedro e o comprimento da aresta pode ser dada pela fórmula:
Sabemos que cm. Vamos usar essa fórmula para encontrar o valor de a.

Passo 5

Vamos isolar a na fórmula:
Multiplicando ambos os lados por para isolar a:

Passo 6

Agora que encontramos o comprimento da aresta ( cm), podemos encontrar o apótema ( h). Em um triângulo equilátero, a altura é dada por:
Substituindo o valor de a:

Resposta

O apótema do tetraedro regular mede 6 cm. Portanto, a opção correta é a letra d) 6 cm.

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