Calcule, usando o método de integração por partes

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral usando o método de integração por partes. Esse método é super útil quando você tem uma multiplicação de funções, como aqui com e . Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que correspondem a e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Ou seja, a integral do produto de e é igual a vezes menos a integral de vezes .

Passo 3

Agora, precisamos escolher o que será e o que será na nossa integral . Uma boa regra para escolher é o método “LIATE”, que sugere a ordem de preferência para escolher . Nesse caso:
  • Logarítmica
  • Inversa trigonométrica
  • Algebraica
  • Trigonométrica
  • Exponencial
Aqui, é uma função algébrica e é trigonométrica. Então, vamos escolher:
  • (algebraica)
  • (trigonométrica)

Passo 4

Com , precisamos encontrar derivando :
Agora, com , vamos encontrar integrando :

Passo 5

Vamos aplicar agora a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , e que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Exercícios relacionados

Nos problemas que seguem, calcule .
Nos problemas que seguem, calcule .
Nos problemas que seguem, calcule .
Encontre o domínio das funções abaixo.