Calcule, usando o método de integração por partes
integral x sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral integral x sen x , dx usando o método de integração por partes. Esse método é super útil quando você tem uma multiplicação de funções, como aqui com x e sen x. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que correspondem a u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Ou seja, a integral do produto de u e dv é igual a u vezes v menos a integral de v vezes du.

Passo 3

Agora, precisamos escolher o que será u e o que será dv na nossa integral integral x sen x , dx. Uma boa regra para escolher é o método “LIATE”, que sugere a ordem de preferência para escolher u. Nesse caso:
  • Logarítmica
  • Inversa trigonométrica
  • Algebraica
  • Trigonométrica
  • Exponencial
Aqui, x é uma função algébrica e sen x é trigonométrica. Então, vamos escolher:
  • u = x (algebraica)
  • dv = sen x , dx (trigonométrica)

Passo 4

Com u = x, precisamos encontrar du derivando u:
du = ddx x , dx = 1 , dx
Agora, com dv = sen x , dx, vamos encontrar v integrando dv:
v = integral sen x , dx = -cos x

Passo 5

Vamos aplicar agora a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du e dv que encontramos:
integral x sen x , dx = x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot 1 , dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
- x cos x + integral cos x , dx
Agora, vamos integrar cos x:
integral cos x , dx = sen x

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
- x cos x + sen x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral x sen x , dx = -x cos x + sen x + C

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