Calcule, usando o método de integração por partes
Passo 1
Beleza, vamos resolver o integral
usando o método de integração por partes. Esse método é super útil quando você tem uma multiplicação de funções, como aqui com
e
. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que correspondem a
e
na fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Ou seja, a integral do produto de
e
é igual a
vezes
menos a integral de
vezes
.
Passo 3
Agora, precisamos escolher o que será
e o que será
na nossa integral
. Uma boa regra para escolher é o método “LIATE”, que sugere a ordem de preferência para escolher
. Nesse caso:
- Logarítmica
- Inversa trigonométrica
- Algebraica
- Trigonométrica
- Exponencial
Aqui,
é uma função algébrica e
é trigonométrica. Então, vamos escolher:
-
(algebraica) -
(trigonométrica)
Passo 4
Com
, precisamos encontrar
derivando
:
Agora, com
, vamos encontrar
integrando
:
Passo 5
Vamos aplicar agora a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
e
que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
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Nos problemas que seguem, calcule
.
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.
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.
Encontre o domínio das funções abaixo.