Calcule, usando o método da substituição:
(f) integral e^x raiz1+e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é ótimo para simplificar integrais complicadas trocando uma parte da expressão por uma nova variável. Para isso, vamos identificar uma parte da integral que, se substituída, facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que vai ser nossa substituição. Observando a integral u = 1 + e^x , vemos que dentro da raiz tem . Vamos deixar isso como nossa nova variável. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x em relação a du = e^x dx para substituir o na integral. Então, derivando :
Isso significa que:
Perfeito! Agora, podemos ver que na integral é exatamente .

Passo 4

Substituindo integral e^x raiz1 + e^x , dx = integral raizu , du e na integral original:
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 5

Vamos resolver integral u^1/2 , du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C . Lembrando que , a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original 23 u^3/2 + C = 23 (1 + e^x)^3/2 + C . Lembrando que , então substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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