Calcule, usando o método da substituição:
(g) integral sen(pi x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de sen(pi x) em relação a x, ou seja, integral sen(pi x) , dx. Para resolver isso, vamos usar o método da substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Aqui, temos pi x dentro do seno. Então, vamos escolher:
u = pi x
Isso significa que vamos substituir pi x por u.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial de u, que é du. Diferenciando u = pi x em relação a x, temos:
dudx = pi Rightarrow du = pi , dx
Para encontrar dx em termos de du, isolamos dx:
dx = dupi

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral sen(pi x) , dx = integral sen(u) cdot dupi = 1pi integral sen(u) , du
Agora, a integral ficou mais simples: integral sen(u) , du.

Passo 5

A gente sabe que a antiderivada de sen(u) é - cos(u). Então:
1pi integral sen(u) , du = 1pi cdot (-cos(u)) + C = -1pi cos(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar à variável original x substituindo u = pi x:
-1pi cos(u) + C = -1pi cos(pi x) + C

Resposta

A integral de sen(pi x) , dx é:
-1pi cos(pi x) + C

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® integral e^xraizx d x