Calcule, usando o método da substituição:
(k) integral(x^2+1)(x^3+3 x)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando o método da substituição. A gente tem que calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observando u = x^3 + 3x , parece ser uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 + 3 em relação a dudx = 3(x^2 + 1) para encontrar . Derivando :
Isso pode ser simplificado:

Passo 4

Queremos expressar a parte da integral que envolve du = 3(x^2 + 1)dx em termos de (x^2 + 1)dx = du3 . Rearranjando a derivada:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos integral (x^2 + 1)(x^3 + 3x)^4 dx = integral u^4 cdot du3 e 13 integral u^4 du na integral original:
Podemos fatorar a constante:

Passo 6

Integrando 13 cdot u^55 + C = u^515 + C em relação a :

Passo 7

Finalmente, substituímos (x^3 + 3x)^515 + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

(x^3 + 3x)^515 + C

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