Calcule, usando o método da substituição:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição. O problema que temos é calcular:
Para isso, vamos precisar entender como escolher uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, ao substituir, simplifica a integral. Observando o denominador
, percebemos que sua derivada está relacionada ao numerador.
Vamos definir uma nova variável
assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
:
Mas observamos que no numerador temos apenas
, não
. Para ajustar isso, vamos reescrever a integral de forma que possamos utilizar a substituição:
Precisamos expressar
em termos de
. Para isso, podemos rearranjar a derivada de
:
No entanto, ainda falta um
para completar a expressão. Vamos ajustar nossa substituição considerando isso.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original de uma forma que facilite a substituição:
Agora, observamos que
está relacionado com a derivada de
:
Mas percebemos que há uma diferença de potência. Para resolver isso, podemos ajustar nossa abordagem inicial e usar uma substituição diferente ou considerar uma fração parcial. Contudo, para simplificar, reconhecemos que essa integral está relacionada à função logarítmica.
Passo 5
Voltando à nossa substituição inicial
, percebemos que a integral pode ser expressa em termos de
de forma que:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.
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(d)
(d)
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(j)
(j)
Calcule, usando o método da substituição:
§
§
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(v)
(v)