Calcule, usando o método da substituição:
§ integral x^2 cos (x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é super útil quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Aqui, temos multiplicando , então vamos precisar identificar uma parte da integral para substituir por uma nova variável, o que facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para u = x^3 , percebemos que o argumento é uma boa opção para substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x^2 dx = du3 em termos de . Para isso, isolamos na equação de :

Passo 5

Agora, substituímos integral x^2 cos(x^3) dx = integral cos(u) cdot du3 e 13 integral cos(u) du na integral original:
Podemos simplificar a constante fora da integral:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral de integral cos(u) du = sin(u) + C em relação a 13 sin(u) + C :
Portanto:

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original 13 sin(x^3) + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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