Calcule, usando o método da substituição:
(e) integral e^x1-e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando o método da substituição. Esse método é uma técnica de integração onde a gente faz uma mudança de variável para simplificar a integral. Para resolver isso, vamos identificar uma parte da expressão que, se substituída, vai facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 1 - e^x = - (e^x - 1) . Perceba que podemos reescrever o denominador:
integral e^x1 - e^x , dx = integral e^x- (e^x - 1) , dx = - integral e^xe^x - 1 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da substituição. Vamos escolher du = e^x , dx . Calculando a derivada de - integral e^xe^x - 1 , dx = - integral duu = - ln|u| + C em relação a :
Isso significa que . Substituindo na integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos substituir - ln|u| + C = - ln|e^x - 1| + C de volta para a expressão original:
- ln|e^x - 1| + C = ln ( 1|e^x - 1| ) + C
Podemos simplificar a expressão:
Mas geralmente, deixamos a resposta na forma anterior.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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(l) integral(x(1-x)^2 d x
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(q) integral x+2raizx^2+4 x d x