Calcule, usando o método que você achar conveniente: lim x 1 2 x^2+5 x-1x^4+2 x-3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 2 x^2+5 x-1x^4+2 x-3. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de limites, e para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de algebrização e análise de comportamentos das funções próximas ao ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x = 1 na expressão para ver se conseguimos resolver diretamente:
2(1)^2 + 5(1) - 1(1)^4 + 2(1) - 3 = 2 + 5 - 11 + 2 - 3 = 60
Como a divisão por zero não é definida, precisamos analisar o que está acontecendo quando x se aproxima de 1.

Passo 3

Vamos examinar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando x se aproxima de 1.
Numerador:
2x^2 + 5x - 1
Substituindo x = 1, já vimos que resulta em 6.
Denominador:
x^4 + 2x - 3
Substituindo x = 1, resulta em 0. Isso nos indica que podemos ter uma assíntota vertical, ou seja, o limite tende a mais ou menos infinito.

Passo 4

Para entender para qual direção o limite tende, vamos analisar o sinal do denominador quando x se aproxima de 1 pela direita ( x to 1^+) e pela esquerda ( x to 1^-).
Para x to 1^+:
Se x for um pouco maior que 1, digamos 1.1, o denominador:
(1.1)^4 + 2(1.1) - 3 approx 1.4641 + 2.2 - 3 = 0.6641 > 0
Para x to 1^-:
Se x for um pouco menor que 1, digamos 0.9, o denominador:
(0.9)^4 + 2(0.9) - 3 approx 0.6561 + 1.8 - 3 = -0.5439 < 0

Passo 5

Observando os sinais:
  • Quando x to 1^+, o denominador é positivo e se aproxima de 0, então a fração 60^+ tende a +infty.
  • Quando x to 1^-, o denominador é negativo e se aproxima de 0, então a fração 60^- tende a -infty.
Como os limites laterais não coincidem, o limite geral não existe em termos de um número real, mas podemos dizer que a função tende a +infty pela direita e a -infty pela esquerda.

Resposta

Portanto, o limite é divergente e não existe um valor finito. Mais especificamente:
lim x 1 2 x^2+5 x-1x^4+2 x-3 = +infty & quando x to 1^+ -infty & quando x to 1^-

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